Решение: В сосуде объемом 2 л находится гелий при давлении 100 кПа и температуре 200 К

Условие задачи:

В сосуде объемом 2 л находится гелий при давлении 100 кПа и температуре 200 К, а в сосуде объемом 5 л — неон при давлении 200 кПа и температуре 500 К. Определить температуру газа в сосудах после соединения их трубкой.

Задача №5.4.35 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(V_1=2\) л, \(p_1=100\) кПа, \(T_1=200\) К, \(V_2=5\) л, \(p_2=200\) кПа, \(T_2=500\) К, \(T-?\)

Решение задачи:

После смешения газов их давление и температура станет одинаковой. Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для гелия и неона до смешения и для смеси газов после смешения:

\[\left\{ \begin{gathered}
{p_1}{V_1} = {\nu _1}R{T_1} \;\;\;\;(1)\hfill \\
{p_2}{V_2} = {\nu _2}R{T_2} \;\;\;\;(2)\hfill \\
p\left( {{V_1} + {V_2}} \right) = \left( {{\nu _1} + {\nu _2}} \right)RT \;\;\;\;(3)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Для решения этой задачи нужно понимать тот факт, что суммарная внутренняя энергия двух указанных газов после соединения сосудов трубкой не изменится. Почему? Дело в том, что внутреннюю энергию газа можно изменить передачей количества теплоты или совершением работы (обратитесь к первому закону термодинамики, чтобы убедиться в этом), но ни первого, ни второго при соединении сосудов с газами не произойдёт. Поэтому:

\[{U_1} + {U_2} = U\]

Распишем внутренние энергии по известным формулам:

\[\frac{3}{2}{\nu _1}R{T_1} + \frac{3}{2}{\nu _2}R{T_2} = \frac{3}{2}\left( {{\nu _1} + {\nu _2}} \right)RT\]

\[{\nu _1}R{T_1} + {\nu _2}R{T_2} = \left( {{\nu _1} + {\nu _2}} \right)RT\]

Учитывая уравнения (1)-(3), последнее равенство примет вид:

\[{p_1}{V_1} + {p_2}{V_2} = p\left( {{V_1} + {V_2}} \right)\]

Тогда уравнение (3) можно записать в следующем виде:

\[{p_1}{V_1} + {p_2}{V_2} = \left( {{\nu _1} + {\nu _2}} \right)RT\;\;\;\;(4)\]

Количество вещества гелия \(\nu_1\) и неона \(\nu_2\) выразим из уравнений (1) и (2):

\[\left\{ \begin{gathered}
{\nu _1} = \frac{{{p_1}{V_1}}}{{R{T_1}}} \hfill \\
{\nu _2} = \frac{{{p_2}{V_2}}}{{R{T_2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Полученные выражения подставим в формулу (4):

\[{p_1}{V_1} + {p_2}{V_2} = \left( {\frac{{{p_1}{V_1}}}{{R{T_1}}} + \frac{{{p_2}{V_2}}}{{R{T_2}}}} \right)RT\]

\[{p_1}{V_1} + {p_2}{V_2} = \left( {\frac{{{p_1}{V_1}}}{{{T_1}}} + \frac{{{p_2}{V_2}}}{{{T_2}}}} \right)T\]

В правой части этого равенства в скобках приведём под общий знаменатель:

\[{p_1}{V_1} + {p_2}{V_2} = \frac{{{p_1}{V_1}{T_2} + {p_2}{V_2}{T_1}}}{{{T_1}{T_2}}}T\]

И наконец последнее действие — выразим искомую температуру \(T\):

\[T = \frac{{\left( {{p_1}{V_1} + {p_2}{V_2}} \right){T_1}{T_2}}}{{{p_1}{V_1}{T_2} + {p_2}{V_2}{T_1}}}\]

Переведём объемы гелия \(V_1\) и неона \(V_2\) в систему СИ:

\[2\; = 0,002\;м^3\]

\[5\; = 0,005\;м^3\]

Посчитаем численный ответ:

\[T = \frac{{\left( {100 \cdot {{10}^3} \cdot 0,002 + 200 \cdot {{10}^3} \cdot 0,005} \right) \cdot 200 \cdot 500}}{{100 \cdot {{10}^3} \cdot 0,002 \cdot 500 + 200 \cdot {{10}^3} \cdot 0,005 \cdot 200}} = 400\;К = 127^\circ\;C \]