Решение: В водоем на некоторую глубину помещают источник белого света. Показатели преломления

Условие задачи:

В водоем на некоторую глубину помещают источник белого света. Показатели преломления воды для красных и фиолетовых лучей равны соответственно 1,328 и 1,335. Вычислить отношение радиусов кругов, в пределах которых возможен выход красных и фиолетовых лучей в воздух (большего к меньшему).

Задача №10.4.16 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$n_к=1,328$ , $n_ф=1,335$ , $\frac{r_к}{r_ф}-?$

Решение задачи:

Если лучи от источника белого света будут идти под углами большими, чем угол полного внутреннего отражения, то никакие лучи из воды выходить не будут (см. рисунок к задаче).

Из прямоугольного треугольника можно найти искомый радиус $r$ :

$r = h \cdot tg{\alpha _{пр}}\;\;\;\;(1)$

Запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса) для случая полного внутреннего отражения при переходе светового луча из воды в воздух:

$n\sin \alpha_{пр} = {n_0}\sin {\beta}$

Здесь $\alpha_{пр}$ — предельный угол полного внутреннего отражения, $\beta$ — угол преломления, равный в данном случае 90°, $n$ и $n_0$ — показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха $n_0$ равен 1, показатель преломления воды $n$ . Так как $n_0=1$ и $\sin \beta_0 = 1$ , то:

$n\sin {\alpha _{пр}} = 1$

$\sin {\alpha _{пр}} = \frac{1}{n}$

${\alpha _{пр}} = \arcsin \left( {\frac{1}{n}} \right)$

Полученное выражение подставим в формулу (1):

$r = h \cdot tg\left( {\arcsin \left( {\frac{1}{n}} \right)} \right)\;\;\;\;(2)$

Тогда радиусы кругов для красных и фиолетовых лучей ${r_к}$ и ${r_ф}$ можно найти по соответствующим формулам:

$\left\{ \begin{gathered} {r_к} = h \cdot tg\left( {\arcsin \left( {\frac{1}{{{n_к}}}} \right)} \right) \hfill \\ {r_ф} = h \cdot tg\left( {\arcsin \left( {\frac{1}{{{n_ф}}}} \right)} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Из формулы (2) видно, что чем меньше показатель преломления $n$ , тем больше радиус круга $r$ . Учитывая то, что ${n_к} < {n_ф}$ , значит ${r_к} > {r_ф}$ . Тогда в задаче нам нужно найти отношение $\frac{r_к}{r_ф}$ :

$\frac{{{r_к}}}{{{r_ф}}} = \frac{{tg\left( {\arcsin \left( {\frac{1}{{{n_к}}}} \right)} \right)}}{{tg\left( {\arcsin \left( {\frac{1}{{{n_ф}}}} \right)} \right)}}$

Задача решена, подставим данные задачи в полученную формулу и посчитаем численный ответ:

$\frac{{{r_к}}}{{{r_ф}}} = \frac{{tg\left( {\arcsin \left( {\frac{1}{{1,328}}} \right)} \right)}}{{tg\left( {\arcsin \left( {\frac{1}{{1,335}}} \right)} \right)}} = 1,01$