Условие задачи:

Во сколько раз изменится полная механическая энергия колеблющегося маятника при уменьшении его длины в 3 раза и увеличении амплитуды колебаний в 2 раза?

Задача №9.4.2 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(l=\frac{l_0}{3}\), \(A=2A_0\), \(\frac{W}{W_0}-?\)

Решение задачи:

Так как в условии не указан конкретный вид маятник, то эту задачу решим для пружинного маятника. Вы можете самостоятельно убедиться, что и для математического маятника результат решения будет таким же.

Полную механическую энергию пружинного маятника можно определить по следующей формуле:

\[W = \frac{{k{A^2}}}{2}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(k\) — жесткость пружины, \(A\) — амплитуда колебаний.

Для того чтобы понять, как длина пружины влияет на полную энергию маятника, запишем следующую формулу:

\[k = \frac{{ES}}{l}\;\;\;\;(2)\]

В этой формуле \(E\) — модуль упругости Юнга, \(S\) — площадь сечения пружины, \(l\) — длина пружины.

Подставим (2) в (1):

\[W = \frac{{ES{A^2}}}{{2l}}\]

Полученную формулу запишем дважды для определения начальной \(W_0\) (то есть до изменений) и конечной \(W\) полной механической энергии:

\[\left\{ \begin{gathered}
{W_0} = \frac{{ESA_0^2}}{{2{l_0}}} \hfill \\
W = \frac{{ES{A^2}}}{{2l}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Так как по условию длину уменьшают в 3 раза, а амплитуды колебаний увеличивают в 2 раза, то есть \(l=\frac{l_0}{3}\) и \(A=2A_0\), имеем:

\[\left\{ \begin{gathered}
{W_0} = \frac{{ESA_0^2}}{{2{l_0}}} \hfill \\
W = \frac{{3ES \cdot 4A_0^2}}{{2{l_0}}} = \frac{{12ESA_0^2}}{{2{l_0}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Значит искомое отношение \(\frac{W}{W_0}\) равно:

\[\frac{W}{{{W_0}}} = \frac{{12ESA_0^2}}{{2{l_0}}} \cdot \frac{{2{l_0}}}{{ESA_0^2}} = 12\]

Ответ: увеличится в 12 раз.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

9.4.1 Груз, подвешенный на пружине, жесткость которой 1 кН/м, совершает косинусоидальные
9.4.3 Найти потенциальную энергию математического маятника массой 200 г в положении
9.4.4 Груз массой 0,2 кг колеблется на пружине жесткостью 500 Н/м. Чему равна полная