Условие задачи:

Во сколько раз увеличится электроемкость плоского конденсатора, пластины которого расположены вертикально, если конденсатор погрузить до половины в жидкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью, равной 5?

Задача №6.4.22 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(S_1=\frac{1}{2}S\), \(\varepsilon_2=5\), \(\frac{C}{C_0}-?\)

Решение задачи:

Если площадь пластин конденсатора равна \(S\), а расстояние между ними — \(d\), то начальную электроемкость конденсатора \(C_0\) возможно определить так:

\[{C_0} = \frac{{{\varepsilon _1}{\varepsilon _0}S}}{d}\;\;\;\;(1)\]

Здесь \(\varepsilon _1\) — диэлектрическая проницаемость воздуха, равная 1.

Когда конденсатор погрузят в диэлектрик, его электроемкость \(C\) будет равна электроемкости двух соединенных параллельно конденсаторов с емкостями \(C_1\) и \(C_2\). Известно, что при параллельном соединении емкости конденсаторов складываются, поэтому:

\[C = {C_1} + {C_2}\;\;\;\;(2)\]

Здесь \(C_1\) — емкость воздушного конденсатора с площадью обкладок \(\left( {S — {S_1}} \right)\), \(C_2\) — емкость конденсатора с площадью обкладок \(S_1\), у которого в пространстве между обкладками находится диэлектрик (\(\varepsilon_2=5\)). Поэтому:

\[\left\{ \begin{gathered}
{C_1} = \frac{{{\varepsilon _1}{\varepsilon _0}\left( {S — {S_1}} \right)}}{d} \hfill \\
{C_2} = \frac{{{\varepsilon _2}{\varepsilon _0}{S_1}}}{d} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

По условию \(S_1=\frac{1}{2}S\), тогда:

\[\left\{ \begin{gathered}
{C_1} = \frac{{{\varepsilon _1}{\varepsilon _0}S}}{{2d}} \hfill \\
{C_2} = \frac{{{\varepsilon _2}{\varepsilon _0}S}}{{2d}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Подставим эти выражения для \(C_1\) и \(C_2\) в формулу (2):

\[C = \frac{{{\varepsilon _1}{\varepsilon _0}S}}{{2d}} + \frac{{{\varepsilon _2}{\varepsilon _0}S}}{{2d}}\]

\[C = \frac{{\left( {{\varepsilon _1} + {\varepsilon _2}} \right){\varepsilon _0}S}}{{2d}}\;\;\;\;(3)\]

Поделим (3) на (1):

\[\frac{C}{{{C_0}}} = \frac{{\left( {{\varepsilon _1} + {\varepsilon _2}} \right){\varepsilon _0}S \cdot d}}{{2d \cdot {\varepsilon _1}{\varepsilon _0}S}}\]

\[\frac{C}{{{C_0}}} = \frac{{{\varepsilon _1} + {\varepsilon _2}}}{{2{\varepsilon _1}}}\]

Посчитаем ответ:

\[\frac{C}{{{C_0}}} = \frac{{1 + 5}}{{2 \cdot 1}} = 3\]

Ответ: увеличится в 3 раза.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.4.21 Какой заряд пройдет по проводам, соединяющим пластины плоского воздушного конденсатора
6.4.23 Две пластины конденсатора площадью 2 дм2 находятся в керосине на расстоянии 4 мм
6.4.24 Напряжение на батарее из двух последовательно включенных конденсаторов