Решение: Воздушный конденсатор емкостью 4 мкФ подключен к источнику 10 В. Какой заряд

Условие задачи:

Воздушный конденсатор емкостью 4 мкФ подключен к источнику 10 В. Какой заряд пройдет по соединительным проводам, если пространство между пластинами заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 1,5?

Задача №6.4.20 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(C_1=4\) мкФ, \(U=10\) В, \(\varepsilon_2=1,5\), \(q-?\)

Решение задачи:

Так как конденсатор всегда остается подключенным к источнику напряжения, то напряжение между его обкладками меняться не будет, то есть \(U=const\). Запишем следующую формулу электроемкости и выразим из нее напряжение:

\[C = \frac{q}{U}\]

\[U = \frac{q}{C}\]

Применим последнюю формулу к двум наблюдаемым в задаче случаям:

\[\left\{ \begin{gathered}
U = \frac{{{q_1}}}{{{C_1}}} \hfill \\
U = \frac{{{q_2}}}{{{C_2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Искомый заряд \(q\), прошедший по соединительным проводам, равен разности конечного \(q_2\) и начального \(q_1\) заряда конденсатора. Конечный заряд конденсатора больше начального — это видно из вышеприведенной системы, так как электроемкость конденсатора при заполнении его диэлектриком увеличится, а напряжение не меняется.

\[q = {q_2} — {q_1}\;\;\;\;(1)\]

Из верхнего равенства системы можно сразу найти начальный заряд конденсатора \(q_1\):

\[{q_1} = {C_1}U\;\;\;\;(2)\]

Также из системы следует следующее равенство:

\[\frac{{{q_1}}}{{{C_1}}} = \frac{{{q_2}}}{{{C_2}}}\]

Откуда конечный заряд \(q_2\) равен:

\[{q_2} = {q_1}\frac{{{C_2}}}{{{C_1}}}\;\;\;\;(3)\]

Электроемкость плоского конденсатора в общем случае определяют по формуле:

\[C = \frac{{\varepsilon {\varepsilon _0}S}}{d}\]

Используем последнюю формулу для определения начальной и конечной электроемкости нашего конденсатора:

\[\left\{ \begin{gathered}
{C_1} = \frac{{{\varepsilon _1}{\varepsilon _0}S}}{d} \hfill \\
{C_2} = \frac{{{\varepsilon _2}{\varepsilon _0}S}}{d} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Здесь \(\varepsilon _1\) — диэлектрическая проницаемость воздуха, равная 1. Разделим нижнее равенство системы на верхнее, чтобы найти отношение \(\frac{C_2}{C_1}\):

\[\frac{{{C_2}}}{{{C_1}}} = \frac{{{\varepsilon _2}}}{{{\varepsilon _1}}}\]

Тогда формула (3) станет такой:

\[{q_2} = {q_1}\frac{{{\varepsilon _2}}}{{{\varepsilon _1}}}\]

Подставим это выражение в формулу (1):

\[q = {q_1}\frac{{{\varepsilon _2}}}{{{\varepsilon _1}}} — {q_1}\]

\[q = {q_1}\left( {\frac{{{\varepsilon _2}}}{{{\varepsilon _1}}} — 1} \right)\]

\[q = {q_1}\frac{{{\varepsilon _2} — {\varepsilon _1}}}{{{\varepsilon _1}}}\]

Учитывая (2), окончательно получим следующее решение задачи в общем виде:

\[q = {C_1}U\frac{{{\varepsilon _2} — {\varepsilon _1}}}{{{\varepsilon _1}}}\]

Произведем расчет численного ответа:

\[q = 4 \cdot {10^{ — 6}} \cdot 10 \cdot \frac{{1,5 — 1}}{1} = 20 \cdot {10^{ — 6}}\;Кл = 20\;мкКл\]