Условие задачи:

Взаимно перпендикулярные лучи идут из воздуха в жидкость. Каков показатель преломления жидкости, если один луч преломляется под углом 36°, а другой — под углом 20°?

Задача №10.3.11 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\gamma=90^\circ\), \(\beta_1=36^\circ\), \(\beta_2=20^\circ\), \(n_2-?\)

Решение задачи:

Если угол падения одного из лучей к нормали к поверхности жидкости равен \(\alpha_1\), а угол между лучами равен \(\gamma\), то очевидно, что угол падения второго луча \(\alpha_2\) равен:

\[{\alpha _2} = {\gamma} — {\alpha _1}\]

Учитывая, что \(\gamma=90^\circ\), имеем (данная подстановка понадобится нам в дальнейшем):

\[{\alpha _2} = {90^\circ} — {\alpha _1}\;\;\;\;(1)\]

Запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса) для обоих лучей:

\[\left\{ \begin{gathered}
{n_1}\sin {\alpha _1} = {n_2}\sin {\beta _1} \hfill \\
{n_1}\sin {\alpha _2} = {n_2}\sin {\beta _2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Здесь \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\) — углы падения первого и второго луча, \(\beta_1\) и \(\beta_2\) — углы преломления первого и второго луча, \(n_1\) и \(n_2\) — показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха \(n_1\) равен 1.

Учитывая формулу (1), имеем:

\[\left\{ \begin{gathered}
{n_1}\sin {\alpha _1} = {n_2}\sin {\beta _1} \hfill \\
{n_1}\sin \left( {{90^\circ} — {\alpha _1}} \right) = {n_2}\sin {\beta _2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Так как \(\sin \left( {90^\circ — {\alpha _1}} \right) = \cos {\alpha _1}\), то имеем:

\[\left\{ \begin{gathered}
{n_1}\sin {\alpha _1} = {n_2}\sin {\beta _1} \hfill \\
{n_1}\cos {\alpha _1} = {n_2}\sin {\beta _2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Сначала выразим из верхней формулы искомый показатель преломления жидкости \(n_2\):

\[{n_2} = \frac{{{n_1}}}{{\sin {\beta _1}}}\sin {\alpha _1}\;\;\;\;(2)\]

Чтобы найти \(\sin {\alpha _1}\), поделим нижнее уравнение системы на верхнее:

\[ctg{\alpha _1} = \frac{{\sin {\beta _2}}}{{\sin {\beta _1}}}\;\;\;\;(3)\]

Из тригонометрии известно следующее равенство:

\[1 + ct{g^2}{\alpha _1} = \frac{1}{{{{\sin }^2}{\alpha _1}}}\]

Откуда можно выразить \(\sin {\alpha _1}\) (отрицательный корень здесь опущен):

\[\sin {\alpha _1} = \sqrt {\frac{1}{{1 + ct{g^2}{\alpha _1}}}} \]

Учитывая (3), имеем:

\[\sin {\alpha _1} = \sqrt {\frac{1}{{1 + \frac{{{{\sin }^2}{\beta _2}}}{{{{\sin }^2}{\beta _1}}}}}} \]

\[\sin {\alpha _1} = \sqrt {\frac{{{{\sin }^2}{\beta _1}}}{{{{\sin }^2}{\beta _1} + {{\sin }^2}{\beta _2}}}} \]

\[\sin {\alpha _1} = \sin {\beta _1}\sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}{\beta _1} + {{\sin }^2}{\beta _2}}}} \]

Осталось только полученное выражение подставить в формулу (2):

\[{n_2} = \frac{{{n_1}}}{{\sin {\beta _1}}}\sin {\beta _1}\sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}{\beta _1} + {{\sin }^2}{\beta _2}}}} \]

\[{n_2} = {n_1}\sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}{\beta _1} + {{\sin }^2}{\beta _2}}}} \]

Численный ответ равен:

\[{n_2} = 1 \cdot \sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}36^\circ + {{\sin }^2}20^\circ }}} = 1,47\]

Ответ: 1,47.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

10.3.10 Водолазу, находящемуся под водой, кажется, что солнечные лучи падают под углом 60
10.3.12 Палка с изломом посередине погружена в пруд так, что наблюдателю, находящемуся
10.3.13 Под каким углом должен падать луч на поверхность стекла, чтобы угол преломления был