Решение: Атомная станция мощностью 1000 МВт имеет КПД 20%. Определите массу расходуемого

Условие задачи:

Атомная станция мощностью 1000 МВт имеет КПД 20%. Определите массу расходуемого за сутки урана-235, если при делении ядра урана выделяется энергия 200 МэВ.

Задача №11.10.7 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(P=1000\) МВт, \(\eta=20\%\), \(t=1\) сут, \(E_0=200\) МэВ, \(m-?\)

Решение задачи:

Коэффициент полезного действия (КПД) атомной станции \(\eta\) определим как отношение полезной работы \(A_п\) к затраченной работе \(A_з\), то есть:

\[\eta = \frac{{{A_п}}}{{{A_з}}}\;\;\;\;(1)\]

Полезную работу \(A_п\) легко найти как произведение мощности атомной станции \(P\) на время работы \(t\), поэтому:

\[{A_п} = Pt\;\;\;\;(2)\]

Затраченная работа \(A_з\) равна энергии \(E\), которая выделяется при делении ядер урана массой \(m\).

\[{A_з} = E\;\;\;\;(3)\]

Очевидно, что энергия \(E\) равна произведению количества атомов (ядер) \(N\) урана-235, содержащихся в массе \(m\), на энергию, выделяющуюся при делении одного ядра изотопа урана-235 \(E_0\), то есть:

\[E = N{E_0}\;\;\;\;(4)\]

Чтобы определить количество атомов (ядер) изотопа урана-235 \(N\) в массе \(m\), запишем две формулы определения количества вещества \(\nu\):

\[\left\{ \begin{gathered}
\nu = \frac{N}{{{N_А}}} \hfill \\
\nu = \frac{m}{M} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Здесь \(N_А\) — постоянная Авогадро, равная 6,022·10²³ моль^-1, \(M\) — молярная масса изотопа урана-235, равная 0,235 кг/моль. Тогда:

\[\frac{N}{{{N_А}}} = \frac{m}{M}\]

\[N = \frac{{{m}{N_А}}}{M}\;\;\;\;(5)\]

Подставим выражение (5) в формулу (4), тогда:

\[E = \frac{{m{N_А}{E_0}}}{M}\]

Учитывая (3), имеем:

\[A_з = \frac{{m{N_А}{E_0}}}{M}\;\;\;\;(6)\]

Подставим выражения (2) и (6) в формулу (1), тогда получим:

\[\eta = \frac{{PMt}}{{m{N_А}{E_0}}}\]

Откуда искомая масса \(m\) равна:

\[m = \frac{{PMt}}{{\eta {N_А}{E_0}}}\]

Задача решена в общем виде, подставим данные задачи в полученную формулу и посчитаем численный ответ (1 эВ = 1,6·10^-19 Дж):

\[m = \frac{{1000 \cdot {{10}^6} \cdot 0,235 \cdot 24 \cdot 3600}}{{0,2 \cdot 6,022 \cdot {{10}^{23}} \cdot 200 \cdot {{10}^6} \cdot 1,6 \cdot {{10}^{ — 19}}}} = 5,27\;кг\]