Решение: Две бесконечные плоскости, заряженные с поверхностной плотностью 2 и 0,6 мкКл/м2

Условие задачи:

Две бесконечные плоскости, заряженные с поверхностной плотностью 2 и 0,6 мкКл/м², пересекаются под прямым углом. С какой силой электрическое поле плоскостей действует на заряд 1 нКл, находящийся на биссектрисе угла между плоскостями?

Задача №6.2.37 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\sigma_1=2\) мкКл/м², \(\sigma_2=0,6\) мкКл/м², \(q=1\) нКл, \(F-?\)

Решение задачи:

Каждая заряженная плоскость создаёт электрическое поле, модули напряженностей которых \(E_1\) и \(E_2\) можно определить по следующим формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
{E_1} = \frac{{{\sigma _1}}}{{2{\varepsilon _0}}} \hfill \\
{E_2} = \frac{{{\sigma _2}}}{{2{\varepsilon _0}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Так как плоскости пересекаются под прямым углом, то результирующее электрическое поле двух пластин \(E\) можно найти как геометрическую сумму векторов напряженностей \(\overrightarrow {{E_1}}\) и \(\overrightarrow {{E_2}}\) по теореме Пифагора:

\[E = \sqrt {E_1^2 + E_2^2} \]

\[E = \sqrt {\frac{{\sigma _1^2}}{{4\varepsilon _0^2}} + \frac{{\sigma _2^2}}{{4\varepsilon _0^2}}} \]

\[E = \sqrt {\frac{{\sigma _1^2 + \sigma _2^2}}{{4\varepsilon _0^2}}} \]

Искомую же силу \(F\) определим так:

\[F = Eq\]

\[F = \sqrt {\frac{{\sigma _1^2 + \sigma _2^2}}{{4\varepsilon _0^2}}} q\]

\[F = \frac{q}{{2{\varepsilon _0}}}\sqrt {\sigma _1^2 + \sigma _2^2} \]

Задача решена, теперь произведём вычисления:

\[F = \frac{{{{10}^{ — 9}}}}{{2 \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ — 12}}}}\sqrt {{{\left( {2 \cdot {{10}^{ — 6}}} \right)}^2} + {{\left( {0,6 \cdot {{10}^{ — 6}}} \right)}^2}} = 118 \cdot {10^{ — 6}}\;Н = 118\;мкН\]