Решение: Имеется 4 г радиоактивного кобальта. Сколько граммов кобальта распадается за 216 суток

Условие задачи:

Имеется 4 г радиоактивного кобальта. Сколько граммов кобальта распадается за 216 суток, если его период полураспада 72 суток?

Задача №11.8.18 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$m_0=4$ г, $t=216$ сут, $T=72$ сут, $\Delta m-?$

Решение задачи:

Согласно закону радиоактивного распада, число нераспавшихся ядер $N$ , содержащихся в образце в произвольный момент времени $t$ , можно определить через начальное число ядер в образце $N_0$ и период полураспада $T$ , по следующей зависимости:

$N = {N_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\;\;\;\;(1)$

Число распавшихся ядер $\Delta N$ , очевидно, можно найти следующим образом:

$\Delta N = {N_0} — N\;\;\;\;(2)$

Подставим выражение (1) в формулу (2), тогда:

$\Delta N = {N_0} — {N_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}$

$\Delta N = {N_0}\left( {1 — {2^{ — \frac{t}{T}}}} \right)\;\;\;\;(3)$

Покажем, что полученный закон можно записать через массы, а не количества ядер (атомов). Для этого запишем две формулы определения количества вещества $\nu$ :

$\left\{ \begin{gathered} \nu = \frac{N}{{{N_А}}} \hfill \\ \nu = \frac{m}{M} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Здесь $N_А$ — постоянная Авогадро, $M$ — молярная масса вещества. Тогда:

$\frac{N}{{{N_А}}} = \frac{m}{M}$

$m = N\frac{M}{{{N_А}}}$

Отсюда видно, что массу можно найти через количество атомов, умножив на некоторое число, которое постоянно для каждого вещества. Поэтому формулу (3) можно записать в виде:

$\Delta m = {m_0}\left( {1 — {2^{ — \frac{t}{T}}}} \right)$