Решение: Имелось некоторое количество радиоактивного серебра. Масса радиоактивного серебра

Условие задачи:

Имелось некоторое количество радиоактивного серебра. Масса радиоактивного серебра уменьшилась в 8 раз за 810 суток. Определить период полураспада радиоактивного серебра.

Задача №11.8.11 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=\frac{m_0}{8}\), \(t=810\) сут, \(T-?\)

Решение задачи:

Согласно закону радиоактивного распада, число нераспавшихся ядер \(N\), содержащихся в образце в произвольный момент времени \(t\), можно определить через начальное число ядер в образце \(N_0\) и период полураспада \(T\), по следующей зависимости:

\[N = {N_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\;\;\;\;(1)\]

Покажем, что этот же закон можно записать через массы, а не количества ядер (атомов). Для этого запишем две формулы определения количества вещества \(\nu\):

\[\left\{ \begin{gathered}
\nu = \frac{N}{{{N_А}}} \hfill \\
\nu = \frac{m}{M} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Здесь \(N_А\) — постоянная Авогадро, \(M\) — молярная масса вещества. Тогда:

\[\frac{N}{{{N_А}}} = \frac{m}{M}\]

\[m = N\frac{M}{{{N_А}}}\]

Отсюда видно, что массу можно найти через количество атомов, умножив на некоторое число, которое постоянно для каждого вещества. Поэтому формулу (1) можно записать в виде:

\[m = {m_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\]

По условию задачи \(m=\frac{m_0}{8}\) или \(\frac{m}{m_0}=\frac{1}{8}\), значит:

\[\frac{1}{8} = {2^{ — \frac{t}{T}}}\]

\[{2^{ — 3}} = {2^{ — \frac{t}{T}}}\]

Откуда имеем:

\[\frac{t}{T} = 3\]

\[T = \frac{t}{3}\]

\[T = \frac{{810}}{3} = 270\;сут\]