Решение: На сколько увеличится масса воды в озере объемом 10^6 м3 при нагревании на 5 C?

Условие задачи:

На сколько увеличится масса воды в озере объемом 10⁶ м³ при нагревании на 5 °C?

Задача №11.5.21 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(V=10^6\) м³, \(\Delta t = 5^{\circ}\) С, \(\Delta m-?\)

Решение задачи:

Для нагревания воды массой \(m\), имеющей удельную теплоемкость \(c_в\), равную 4200 Дж/(кг·К), на \(\Delta t\) градусов требуется сообщить ей теплоту \(Q\), которую найдем по формуле:

\[Q = {c_в}m\Delta t\;\;\;\;(1)\]

Массу воды \(m\) можно определить через плотность воды (\(\rho=1000\) кг/м³) и её объем \(V\) по формуле:

\[m = \rho V\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (2) в формулу (1), тогда:

\[Q = {c_в}\rho V\Delta t\;\;\;\;(3)\]

Понятно, что при сообщении воде теплоты изменится её внутренняя энергия. Так как энергия эквивалентна массе, значит при нагревании воды изменится и её масса. Запишем формулу Эйнштейна для связи между энергией и массой:

\[\Delta E = \Delta m{c^2}\;\;\;\;(4)\]

Здесь \(\Delta E\) — изменение энергии тела, \(\Delta m\) — изменение массы тела, \(c\) — скорость света в вакууме, равная 3·10⁸ м/с.

Поскольку \(Q = \Delta E\), то приравняем (3) и (4), тогда получим:

\[{c_в}\rho V\Delta t = \Delta m{c^2}\]

Откуда искомое изменение массы воды \(\Delta m\) равно:

\[\Delta m = \frac{{{c_в}\rho V\Delta t}}{{{c^2}}}\]

Произведем вычисления:

\[\Delta m = \frac{{4200 \cdot 1000 \cdot {{10}^6} \cdot 5}}{{{{\left( {3 \cdot {{10}^8}} \right)}^2}}} = 2,33 \cdot {10^{ — 4}}\;кг = 233\;мг\]