Решение: Найти количество теплоты, выделившейся при абсолютно неупругом ударе свинцового

Условие задачи:

Найти количество теплоты, выделившейся при абсолютно неупругом ударе свинцового шара массой 1 кг об очень тяжелую стенку, движущуюся со скоростью 5 см/с. Шар до удара двигался не вращаясь перпендикулярно стенке, навстречу ей со скоростью 10 см/с.

Задача №2.10.26 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=1\) кг, \(u=5\) см/с, \(\upsilon=10\) см/с, \(M \gg m\), \(Q-?\)

Решение задачи:

Эту задачу можно решать двумя способами.

Первый способ. Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось \(x\) и закон сохранения энергии для системы тел «шар — стенка» в системе отсчета (СО) Земли. Замечу, что этот способ достаточно трудоёмкий, по сравнению со вторым.

\[\left\{ \begin{gathered}
Mu — m\upsilon = \left( {M + m} \right){u_1} \;\;\;\;(1)\hfill \\
\frac{{M{u^2}}}{2} + \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} = \frac{{\left( {M + m} \right)u_1^2}}{2} + Q \;\;\;\;(2)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из равенства (1) выразим скорость стенки с шаром \(u_1\) после удара:

\[{u_1} = \frac{{Mu — m\upsilon }}{{M + m}}\]

Полученное выражение для скорости \(u_1\) подставим в (2).

\[\frac{{M{u^2}}}{2} + \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} = \frac{{\left( {M + m} \right)}}{2} \cdot \frac{{{{\left( {Mu — m\upsilon } \right)}^2}}}{{{{\left( {M + m} \right)}^2}}} + Q\]

\[\frac{{M{u^2}}}{2} + \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} = \frac{{{{\left( {Mu — m\upsilon } \right)}^2}}}{{2\left( {M + m} \right)}} + Q\]

Оставим искомое количество теплоты \(Q\) в одной стороне, все остальные члены перенесем в другую, где приведем их под общий знаменатель.

\[Q = \frac{{M{u^2}}}{2} + \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} — \frac{{{{\left( {Mu — m\upsilon } \right)}^2}}}{{2\left( {M + m} \right)}}\]

\[Q = \frac{{M{u^2}\left( {M + m} \right) + m{\upsilon ^2}\left( {M + m} \right) — {{\left( {Mu — m\upsilon } \right)}^2}}}{{2\left( {M + m} \right)}}\]

Раскроем в числителе скобки и квадрат разности:

\[Q = \frac{{{M^2}{u^2} + mM{u^2} + mM{\upsilon ^2} + {m^2}{\upsilon ^2} — {M^2}{u^2} + 2Mmu\upsilon — {m^2}{\upsilon ^2}}}{{2\left( {M + m} \right)}}\]

\[Q = \frac{{mM{u^2} + mM{\upsilon ^2} + 2Mmu\upsilon }}{{2\left( {M + m} \right)}}\]

Вынесем в числителе общий множитель \(mM\) за скобки:

\[Q = \frac{{mM\left( {{u^2} + 2u\upsilon + {\upsilon ^2}} \right)}}{{2\left( {M + m} \right)}}\]

\[Q = \frac{{mM{{\left( {u + \upsilon } \right)}^2}}}{{2\left( {M + m} \right)}}\]

Воспользуемся основным свойством дроби и поделим и числитель и знаменатель на \(M\).

\[Q = \frac{{m{{\left( {u + \upsilon } \right)}^2}}}{{2\left( {1 + \frac{m}{M}} \right)}}\]

Так как по условию стенка очень тяжелая, то есть \(M \gg m\), то отношение \({\frac{m}{M}}\) стремится к нулю, значит им можно пренебречь. В итоге конечная формула такая:

\[Q = \frac{{m{{\left( {u + \upsilon } \right)}^2}}}{2}\]

Второй способ. Перейдем в систему отсчета (СО), связанную с массивной стенкой. В этой СО скорость свинцового шарика равна \(\upsilon + u\) и направлена к стенке. После удара скорость шарика станет такой же, как и у стенки, то есть в этой СО станет равной нулю. Получается, что вся кинетическая энергия шарика в этой СО перейдет в теплоту:

\[Q = \frac{{m{{\left( {u + \upsilon } \right)}^2}}}{2}\]

Как Вы видите, второй способ решения этой задачи существенно короче.

Переведем скорости в систему СИ, а уже потом будет считать ответ:

\[5\; см/с = \frac{5}{{100}}\; м/с = 0,05\; м/с\]

\[10\; см/с = \frac{10}{{100}}\; м/с = 0,10\; м/с\]

\[Q = \frac{{1{{\left( {0,05 + 0,1} \right)}^2}}}{2} = 0,01125\; Дж = 11,25\; мДж\]