Решение: Определите длину волны фотона с импульсом, равным импульсу электрона, прошедшего

Условие задачи:

Определите длину волны фотона с импульсом, равным импульсу электрона, прошедшего из состояния покоя разность потенциалов 4,9 В.

Задача №11.1.32 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(U=4,9\) В, \(\lambda-?\)

Решение задачи:

Запишем формулу длины волны де Бройля \(\lambda\):

\[\lambda = \frac{h}{p}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(h\) — это постоянная Планка, равная 6,62·10^-34 Дж·с.

Теперь запишем закон сохранения энергии для электрона, который прошел из состояния покоя разность потенциалов \(U\) и получил за счет этого скорость \(\upsilon\):

\[eU = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\]

Здесь \(e\) — модуль заряда электрона, равный 1,6·10^-19 Кл, \(m_e\) — масса электрона, равная 9,1·10^-31 кг.

Умножим и поделим дробь в правой части равенства на \(m_e\), тогда:

\[eU = \frac{{m_e^2{\upsilon ^2}}}{{2{m_e}}}\]

В числителе дроби мы получили не что иное, как импульс электрона \(p\) в квадрате, поэтому:

\[eU = \frac{{{p^2}}}{{2{m_e}}}\]

Откуда выразим импульс электрона \(p\):

\[p = \sqrt {2{m_e}eU}\;\;\;\;(2)\]

Подставим теперь выражение (2) в формулу (1), окончательно получим:

\[\lambda = \frac{h}{{\sqrt {2{m_e}eU} }}\]

Численный ответ задачи равен:

\[\lambda = \frac{{6,62 \cdot {{10}^{ — 34}}}}{{\sqrt {2 \cdot 9,1 \cdot {{10}^{ — 31}} \cdot 1,6 \cdot {{10}^{ — 19}} \cdot 4,9} }} = 5,5 \cdot {10^{ — 10}}\;м = 0,55\;нм\]