Решение: Подъемный кран поднимает груз массой 8 т на высоту 15 м. Определить время

Условие задачи:

Подъемный кран поднимает груз массой 8 т на высоту 15 м. Определить время подъема груза, если мощность двигателя крана 10 кВт, коэффициент полезного действия крана 80%.

Задача №2.8.22 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=8\) т, \(h=15\) м, \(N=10\) кВт, \(\eta=80\)%, \(t-?\)

Решение задачи:

Задачи, где идет речь о коэффициенте полезного действия (КПД) некоторого механизма, начинают решать с того, что записывают формулу-определение КПД:

\[\eta = \frac{{{A_п}}}{{{A_з}}}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(A_п\) — полезная работа механизма, а \(A_з\) — затраченная работа.

Полезная работа крана заключается в том, что он поднял груз на некоторую высоту, тем самым изменив его потенциальную энергию:

\[{A_п} = \Delta E\]

\[{A_п} = mgh\;\;\;\;(2)\]

Затраченная работа крана может заключаться в том, что двигатель крана, например, вращал лебедку. Понятно, что существуют силы трения между барабаном и подъемным тросом, силы трения в подшипниках и т.д, поэтому затраченная работа всегда больше полезной работы. Затраченную работу удобно определить через формулу мощности, так как последняя дана в условии:

\[N = \frac{{{A_з}}}{t}\]

\[{A_2} = Nt\;\;\;\;(3)\]

Здесь \(t\) — время работы двигателя или время подъема груза, что то же самое.

Подставим выражения (2) и (3) в (1), тогда:

\[\eta = \frac{{mgh}}{{Nt}}\]

\[t = \frac{{mgh}}{{\eta N}}\]

Переведем массу груза в систему СИ.

\[8\; т = 8 \cdot 1000\; кг = 8 \cdot {10^3}\; кг\]

КПД подставляем в долях единицы, т.е. данный в задаче КПД 80% в формулу для расчета подставим как 0,8.

\[t = \frac{{8 \cdot {{10}^3} \cdot 10 \cdot 15}}{{0,8 \cdot 10 \cdot {{10}^3}}} = 150\; с = 2,5\; мин\]