Условие задачи:

Поршень весом 30 Н представляет собой круглый диск радиусом 4 см с отверстием, в которое вставлена тонкостенная трубка радиусом 1 см. Поршень может плотно и без трения входить в стакан и сначала лежит на дне стакана. На какую высоту поднимется поршень, если влить в трубку 700 г воды?

Задача №3.1.42 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(P=30\) Н, \(R=4\) см, \(r=1\) см, \(m=700\) г, \(h-?\)

Решение задачи:

Поршень будет подниматься до тех пор, пока давление столбика воды в трубке не уравновесит давление поршня.

\[{p_п} = {p_в}\;\;\;\;(1)\]

Поршень создает давление \(p_{п}\), которое определим по формуле-определению давления:

\[{p_п} = \frac{P}{{\pi \left( {{R^2} — {r^2}} \right)}}\]

Давление столбика воды \(p_{в}\) высотой \(h_{в}\) найдем по формуле:

\[{p_в} = {\rho _в}g{h_в}\]

Таким образом, равенство (1) примет вид:

\[\frac{P}{{\pi \left( {{R^2} — {r^2}} \right)}} = {\rho _в}g{h_в}\]

\[{h_в} = \frac{P}{{{\rho _в}g\pi \left( {{R^2} — {r^2}} \right)}}\;\;\;\;(2)\]

Обратите внимание, что весь объем налитой воды равен сумме объема воды в стакане и в трубке, то есть:

\[V_{в} = {V_1} + {V_2}\;\;\;\;(3)\]

Весь объем воды \(V_{в}\) определим по формуле связи массы и объема через плотность:

\[{V_в} = \frac{m}{{{\rho _в}}}\]

Объем воды в стакане и трубке найдем из геометрических соображений:

\[\left\{ \begin{gathered}
{V_1} = \pi {R^2}h \hfill \\
{V_2} = \pi {r^2}{h_в} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Подставим все полученное в равенство (3):

\[\frac{m}{{{\rho _в}}} = \pi {R^2}h + \pi {r^2}{h_в}\]

\[h = \frac{m}{{\pi {R^2}{\rho _в}}} — \frac{{{r^2}{h_в}}}{{{R^2}}}\]

Подставим выражение (2) в полученную формулу:

\[h = \frac{m}{{\pi {R^2}{\rho _в}}} — \frac{{P{r^2}}}{{{\rho _в}g\pi {R^2}\left( {{R^2} — {r^2}} \right)}}\]

\[h = \frac{1}{{{\rho _в}\pi {R^2}}}\left( {m — \frac{{P{r^2}}}{{g\left( {{R^2} — {r^2}} \right)}}} \right)\]

Переведем некоторые данные задачи в систему СИ:

\[4\;см = 0,04\;м\]

\[1\;см = 0,01\;м\]

\[700\;г = 0,7\;кг\]

Посчитаем ответ (плотность воды равна 1000 кг/м³):

\[h = \frac{1}{{1000 \cdot 3,14 \cdot {{0,04}^2}}}\left( {0,7 — \frac{{30 \cdot {{0,01}^2}}}{{10 \cdot \left( {{{0,04}^2} — {{0,01}^2}} \right)}}} \right) = 0,1\;м\]

Ответ: 0,1 м.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

3.1.41 Две трубки диаметром 4 см представляют собой сообщающиеся сосуды. В одно колено
3.1.43 Определить массу груза, который можно поднять с помощью гидравлического поршня
3.1.44 В гидравлическом прессе площадь малого поршня 20 см2, а большого 500 см2. С какой