Решение: При какой скорости движения кинетическая энергия частицы вдвое больше ее энергии

Условие задачи:

При какой скорости движения кинетическая энергия частицы вдвое больше ее энергии покоя?

Задача №11.5.32 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(E_к=2E_0\), \(\upsilon-?\)

Решение задачи:

Энергию покоя частицы \(E_0\) можно найти по следующей формуле:

\[{E_0} = {m_0}{c^2}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(m_0\) — масса покоя частицы, \(c\) — скорость света в вакууме, равная 3·10⁸ м/с.

Кинетическую энергию частицы \(E_к\), движущейся со скоростью \(\upsilon\) относительно наблюдателя, можно найти по следующей формуле:

\[{E_к} = \frac{{{m_0}{c^2}}}{{\sqrt {1 — \frac{{{\upsilon ^2}}}{{{c^2}}}} }} — {m_0}{c^2}\;\;\;\;(2)\]

Так как в условии сказано, что кинетическая энергия частицы \(E_к\) вдвое больше ее энергии покоя \(E_0\), то есть \(E_к=2E_0\), тогда учитывая (1) и (2), получим:

\[\frac{{{m_0}{c^2}}}{{\sqrt {1 — \frac{{{\upsilon ^2}}}{{{c^2}}}} }} — {m_0}{c^2} = 2{m_0}{c^2}\]

\[\frac{{{m_0}{c^2}}}{{\sqrt {1 — \frac{{{\upsilon ^2}}}{{{c^2}}}} }} = 3{m_0}{c^2}\]

\[\frac{1}{{\sqrt {1 — \frac{{{\upsilon ^2}}}{{{c^2}}}} }} = 3\]

\[\sqrt {1 — \frac{{{\upsilon ^2}}}{{{c^2}}}} = \frac{1}{3}\]

Возведем в квадрат обе части полученного уравнения:

\[1 — \frac{{{\upsilon ^2}}}{{{c^2}}} = \frac{1}{9}\]

\[\frac{{{\upsilon ^2}}}{{{c^2}}} = \frac{8}{9}\]

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[\frac{\upsilon }{c} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\]

\[\upsilon = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}c\]

Численный ответ равен:

\[\upsilon = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} \cdot 3 \cdot {10^8} = 2,83 \cdot {10^8}\;м/с\]