Решение: Протон движется со скоростью 7,7*10^6 м/с. На какое наименьшее расстояние может

Условие задачи:

Протон движется со скоростью 7,7·10⁶ м/с. На какое наименьшее расстояние может приблизиться этот протон к ядру алюминия \(_{13}^{27}Al\)?

Задача №11.6.14 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\upsilon=7,7 \cdot 10^6\) м/с, \(_{13}^{27}Al\), \(r-?\)

Решение задачи:

Протон и ядро алюминия \(_{13}^{27}Al\) заряжены положительно, поэтому протон из-за силы кулоновского отталкивания не может максимально приблизиться к ядру алюминию (столкнуться с ним), и величина этого приближения \(r\) зависит от начальной скорости протона.

Решим эту задачу с помощью закона сохранения энергии. Когда протон (масса которого \(m_p\) равна 1,672·10^-27 кг) находится на достаточно большом расстоянии от ядра алюминия, то суммарная энергия системы равна кинетической энергии протона. Когда же протон максимально приблизится к ядру алюминия, находясь от него на искомом расстоянии \(r\), суммарная энергия указанной системы будет равна потенциальной энергии взаимодействия зарядов протона и ядра алюминия (поскольку скорость протона будет уже равна нулю). Так как зарядовое число алюминия равно 13 (это видно из записи химического элемента), то заряд ядра равен \(13e\) (модуль заряда электрона \(e\) равен 1,6·10^-19 Кл). Заряд протона равен \(e\). То есть:

\[\frac{{{m_p}{\upsilon ^2}}}{2} = \frac{{k \cdot 13e \cdot e}}{r}\]

Здесь \(k\) — постоянная в законе Кулона, равная 9·10⁹ Н·м²/Кл².

Откуда искомое расстояние \(r\) равно:

\[r = \frac{{26k{e^2}}}{{{m_p}{\upsilon ^2}}}\]

Численный ответ задачи равен:

\[r = \frac{{26 \cdot 9 \cdot {{10}^9} \cdot {{\left( {1,6 \cdot {{10}^{ — 19}}} \right)}^2}}}{{1,672 \cdot {{10}^{ — 27}} \cdot {{\left( {7,7 \cdot {{10}^6}} \right)}^2}}} = 6,04 \cdot {10^{ — 14}}\;м\]