Решение: С незакрепленной горки (клина) массой 1 кг соскальзывает тело массой 500 г. Угол

Условие задачи:

С незакрепленной горки (клина) массой 1 кг соскальзывает тело массой 500 г. Угол наклона горки меняется и у основания равен нулю. Высота горки 0,5 м. Определить скорость тела после соскальзывания. Трением пренебречь.

Задача №2.10.35 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(M=1\) кг, \(m=500\) г, \(h=0,5\) м, \(\upsilon-?\)

Решение задачи:

Будем рассматривать клин и тело в системе. На эту систему не действуют внешние горизонтальные силы, значит проекция суммарного импульса на ось \(x\) по закону сохранения импульса должна сохраняться.

\[0 = m\upsilon — Mu\]

\[u = \frac{{m\upsilon }}{M}\;\;\;\;(1)\]

Начальная потенциальная энергия тела \(mgh\) преобразуется в кинетическую энергию тела у основания \(\frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}\) и кинетическую энергию горки \(\frac{{M{u^2}}}{2}\) по закону сохранения энергии:

\[mgh = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} + \frac{{M{u^2}}}{2}\]

Подставим в это равенство выражение для скорости клина (1), тогда:

\[mgh = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} + \frac{M}{2} \cdot \frac{{{m^2}{\upsilon ^2}}}{{{M^2}}}\]

\[mgh = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} + \frac{{{m^2}{\upsilon ^2}}}{{2M}}\]

\[mgh = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}\left( {1 + \frac{m}{M}} \right)\]

\[gh = \frac{{{\upsilon ^2}}}{2}\left( {\frac{{M + m}}{M}} \right)\]

После всех преобразований мы получили такую формулу-ответ:

\[\upsilon = \sqrt {\frac{{2Mgh}}{{M + m}}} \]

Масса тела в системе СИ равна:

\[500\; г = \frac{{500}}{{1000}}\; кг = 0,5\; кг\]

Подставляем численные данные в формулу и считаем ответ:

\[\upsilon = \sqrt {\frac{{2 \cdot 1 \cdot 10 \cdot 0,5}}{{1 + 0,5}}} = 2,58\; м/с = 9,3\; км/ч\]