Решение: Внутри замкнутого цилиндра, наполненного воздухом, находится шарик радиусом 3 см

Условие задачи:

Внутри замкнутого цилиндра, наполненного воздухом, находится шарик радиусом 3 см и массой 3 г. Какое давление необходимо создать внутри цилиндра, чтобы шарик находился во взвешенном состоянии, если поддерживается температура 17° C?

Задача №4.2.84 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(r=3\) см, \({m_ш}=3\) г, \(t=17^\circ\) C, \(p-?\)

Решение задачи:

На шарик действует сила Архимеда \(F_А\) и сила тяжести \({m_ш}g\). Выталкивающую силу (так ещё называют силу Архимеда) \(F_А\) находят по следующей формуле:

\[{F_А} = \rho Vg\;\;\;\;(1)\]

Изначально шарик будет находиться на дне цилиндра. Затем при повышении давления повысится и плотность воздуха (смотри формулу (3)) в цилиндре, вследствие чего увеличится и сила Архимеда \(F_А\) (это видно по формуле (1)). Когда выполнится следующее условие, шарик всплывёт:

\[{F_А} = {m_ш}g\]

Тогда:

\[\rho Vg = {m_ш}g\]

\[\rho V = {m_ш}\;\;\;\;(2)\]

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для находящегося в цилиндре воздуха:

\[p{V_1} = \frac{m}{M}RT\]

Молярная масса воздуха \(M\) равна 29 г/моль или 0,029 кг/моль.

Поделим обе части уравнения на объем цилиндра \(V_1\), тогда можем отношение массы воздуха \(m\) к объему цилиндра \(V_1\) в правой части заменить плотностью воздуха \(\rho\).

\[p = \frac{m}{{M{V_1}}}RT\]

\[p = \frac{\rho }{M}RT\]

\[\rho = \frac{{pM}}{{RT}}\;\;\;\;(3)\]

Объем шарика определяют по такой формуле:

\[V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\;\;\;\;(4)\]

Равенство (2) с учётом выражений (3) и (4) примет вид:

\[\frac{{pM}}{{RT}} \cdot \frac{4}{3}\pi {r^3} = {m_ш}\]

Откуда давление воздуха \(p\), при котором всплывёт шарик, равно:

\[p = \frac{{3{m_ш}RT}}{{4\pi {r^3}M}}\]

Переведём величины в систему СИ:

\[3\;см = 0,03\;м\]

\[3\;г = 0,003\;кг\]