Решение: Вокруг отрицательного точечного заряда -5 нКл равномерно вращается

Условие задачи:

Вокруг отрицательного точечного заряда -5 нКл равномерно вращается по окружности под действием силы притяжения маленький заряженный шарик. Чему равно отношение заряда шарика к его массе, если шарик совершает 2 полных оборота в секунду, а радиус окружности 3 см?

Задача №6.1.18 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(Q=-5\) нКл, \(N=2\), \(t=1\) c, \(R=3\) см, \(\frac{q}{m}-?\)

Решение задачи:

Поскольку шарик притягивается к отрицательному точечному заряду, значит он имеет положительный заряд. По закону Кулона величину силы притяжения между ними \(F\) можно определить следующим образом:

\[F = \frac{{k\left| Q \right|q}}{{{R^2}}}\;\;\;\;(1)\]

Коэффициент пропорциональности \(k\) равен 9·10⁹ Н·м²/Кл².

Эта сила притяжения \(F\) сообщает шарику центростремительное ускорение \(a_ц\), поэтому из второго закона Ньютона имеем:

\[F = m{a_ц}\;\;\;\;(2)\]

Центростремительное ускорение \(a_ц\) можно выразить через угловую скорость вращения \(\omega\) по формуле:

\[{a_ц} = {\omega ^2}R\;\;\;\;(3)\]

Угловая скорость \(\omega\) связана с периодом вращения \(T\) формулой:

\[\omega = \frac{{2\pi }}{T}\;\;\;\;(4)\]

Зная число полных оборотов \(N\) за время \(t\) легко найти период \(T\):

\[T = \frac{t}{N}\;\;\;\;(5)\]

Подставим (5) в (4), а полученное — в (3), тогда будем иметь:

\[{a_ц} = \frac{{4{\pi ^2}{N^2}R}}{{{t^2}}}\]

Учитывая полученное выражения, приравняем (1) и (2), тогда:

\[\frac{{k\left| Q \right|q}}{{{R^2}}} = \frac{{4{\pi ^2}{N^2}Rm}}{{{t^2}}}\]

Откуда искомое отношение заряда шарика к его массе \(\frac{q}{m}\) равно:

\[\frac{q}{m} = \frac{{4{\pi ^2}{N^2}{R^3}}}{{k\left| Q \right|{t^2}}}\]

Посчитаем ответ:

\[\frac{q}{m} = \frac{{4 \cdot {{3,14}^2} \cdot {2^2} \cdot {{0,03}^3}}}{{9 \cdot {{10}^9} \cdot 5 \cdot {{10}^{ — 9}} \cdot {1^2}}} = 0,0000947\;Кл/кг = 94,7\;мкКл/кг\]