Условие задачи:

Бумага пробивается при напряженности поля 18 кВ/см. Два плоских конденсатора с изолятором из этой бумаги толщиной 2 мм, один электроемкостью 1,2 нФ, другой электроемкостью 0,4 нФ, соединены последовательно. При каком наименьшем напряжении будет пробита эта система?

Задача №6.4.31 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(E=18\) кВ/см, \(d=2\) мм, \(C_1=1,2\) нФ, \(C_2=0,4\) нФ, \(U-?\)

Решение задачи:

Понятно, что раз конденсаторы имеют разную емкость, то и напряжения на них будут разные. Поэтому нам сначала нужно найти на каком из конденсаторов напряжение будет больше, то есть какой из конденсаторов будет пробиваться первым.

Для начала запишем формулу нахождения электроемкости и выразим из этой формулы заряд \(q\):

\[C = \frac{q}{U}\]

\[q = CU\;\;\;\;(1)\]

Пусть \(U_1\) — напряжение между обкладками первого конденсатора, а \(U_2\) — напряжение между обкладками второго. Известно, что при последовательном соединении конденсаторов заряд на их обкладках одинаковый, а общее напряжение равно сумме напряжений на каждом из конденсаторов. Учитывая все написанное и пользуясь формулой (1), мы можем получить такую систему:

\[\left\{ \begin{gathered}
{C_1}{U_1} = {C_2}{U_2} \hfill \\
U = {U_1} + {U_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из верхнего равенства системы выразим напряжение \(U_2\):

\[{U_2} = {U_1}\frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}\;\;\;\;(2)\]

Полученное выражение подставим в нижнее равенство системы:

\[U = {U_1} + {U_1}\frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}\]

\[U = {U_1}\frac{{{C_1} + {C_2}}}{{{C_2}}}\]

Откуда напряжение на первом конденсаторе \(U_1\) равно:

\[{U_1} = \frac{{U{C_2}}}{{{C_1} + {C_2}}}\;\;\;\;(3)\]

Используя формулу (2), найдем напряжение на втором конденсаторе \(U_2\):

\[{U_2} = \frac{{U{C_2}}}{{{C_1} + {C_2}}} \cdot \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}\]

\[{U_2} = \frac{{U{C_1}}}{{{C_1} + {C_2}}}\;\;\;\;(4)\]

Так как по условию \({C_1} > {C_2}\), то из формул (3) и (4) видно, что \({U_2} > {U_1}\), то есть первым будет пробиваться второй конденсатор (что имеет меньшую электроемкость).

Выразим из формулы (4) искомое напряжение \(U\):

\[U = \frac{{{U_2}\left( {{C_1} + {C_2}} \right)}}{{{C_1}}}\]

Напряжение \(U_2\) найдем из того факта, что напряженность электрического поля во втором конденсаторе при пробое равна \(E\), поэтому:

\[{U_2} = Ed\]

В итоге:

\[U = \frac{{Ed\left( {{C_1} + {C_2}} \right)}}{{{C_1}}}\]

Посчитаем численный ответ:

\[U = \frac{{18 \cdot {{10}^5} \cdot 2 \cdot {{10}^{ — 3}} \cdot \left( {1,2 \cdot {{10}^{ — 9}} + 0,4 \cdot {{10}^{ — 9}}} \right)}}{{1,2 \cdot {{10}^{ — 9}}}} = 4800\;В\]

Ответ: 4800 В.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.4.30 Два одинаковых конденсатора соединены последовательно и подключены к источнику
6.4.32 Три конденсатора электроемкостью 0,1, 0,125 и 0,5 мкФ соединены последовательно
6.4.33 Три воздушных конденсатора емкостью 1 мкФ каждый соединены последовательно