Решение: Два одинаковых плоских конденсатора электроемкостью 1 мкФ соединены параллельно

Условие задачи:

Два одинаковых плоских конденсатора электроемкостью 1 мкФ соединены параллельно и заряжены до напряжения 1 В. Пластины одного из конденсаторов разводят на большое расстояние. Найти энергию образовавшейся системы.

Задача №6.4.60 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(C_0=1\) мкФ, \(U_0=1\) В, \(W-?\)

Решение задачи:

Пусть увеличивают расстояние между пластинами у второго конденсатора. Его емкость \(C\) можно определить по формуле (мы условно приняли, что конденсаторы воздушные, хотя это и не имеет особого значения):

\[C = \frac{{{\varepsilon _0}S}}{d}\]

Поскольку расстояние между обкладками \(d\) увеличивают до большего, то есть увеличивают знаменатель в приведенной формуле, то емкость \(C\) будет уменьшаться и стремиться к нулю.

\[C = 0\;\;\;\;(1)\]

Примем начальный суммарный заряд конденсаторов равным \(q_0\), конечный заряд первого конденсатора равным \(q\), а второго — \(Q\). Очевидно, что:

\[{q_0} = 2{C_0}{U_0}\;\;\;\;(2)\]

Согласно закону сохранения заряда:

\[{q_0} = q + Q\;\;\;\;(3)\]

Так как конденсаторы соединены параллельно, то напряжение между ними всегда остается одинаковым (но не постоянным!). Конечное напряжение между конденсаторами \(U\) можно определять по двум таким формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
U = \frac{q}{{{C_0}}} \;\;\;\;(4)\hfill \\
U = \frac{Q}{C} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Откуда:

\[\frac{q}{{{C_0}}} = \frac{Q}{C}\]

\[Q = q\frac{C}{{{C_0}}}\]

Принимая во внимание (1), имеем \(Q=0\). Тогда формула (3) примет вид:

\[q = {q_0}\]

\[q = 2{C_0}{U_0}\;\;\;\;(5)\]

Энергию системы найдем как сумму конечной энергии первого и второго конденсатора \(W_1\) и \(W_2\):

\[W = {W_1} + {W_2}\;\;\;\;(6)\]

Конечную энергию первого конденсатора \(W_1\) найдем таким образом:

\[{W_1} = \frac{{{q^2}}}{{2{C_0}}}\]

Учитывая (5), имеем:

\[{W_1} = \frac{{4C_0^2U_0^2}}{{2{C_0}}}\]

\[{W_1} = 2{C_0}U_0^2\]

А вот для определения конечной энергии второго конденсатора \(W_2\) следует воспользоваться иной формулой, поскольку в противном случае Вы получите неопределенность вида 0/0:

\[{W_2} = \frac{{C{U^2}}}{2}\]

Воспользуемся поочередно формулами (4) и (5):

\[{W_2} = \frac{{C{q^2}}}{{2C_0^2}}\]

\[{W_2} = \frac{{CC_0^2U_0^2}}{{2C_0^2}}\]

\[{W_2} = \frac{{CU_0^2}}{2}\]

Так как \(C=0\), значит конечная энергия \(W_2\) также равна нулю. В итоге формула (6) должна получиться такой:

\[W = 2{C_0}U_0^2\]

Посчитаем ответ:

\[W = 2 \cdot {10^{ — 6}} \cdot {1^2} = 2 \cdot {10^{ — 6}}\;Дж = 2\;мкДж\]