Решение: Электрон, ускоренный электрическим полем, приобрел скорость, при которой его масса

Условие задачи:

Электрон, ускоренный электрическим полем, приобрел скорость, при которой его масса стала равной удвоенной массе покоя. Чему равна разность потенциалов, пройденная электроном?

Задача №11.5.26 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=2m_0\), \(U-?\)

Решение задачи:

Электрическое поле совершило некоторую работу и сообщило электрону кинетическую энергию, запишем закон сохранения энергии:

\[eU = {E_к}\;\;\;\;(1)\]

Здесь \(e\) — модуль заряда электрона, равный 1,6·10^-19 Кл.

Кинетическую энергию электрона \(E_к\), движущегося со скоростью \(\upsilon\) относительно наблюдателя, можно найти по следующей формуле:

\[{E_к} = \frac{{{m_0}{c^2}}}{{\sqrt {1 — \frac{{{\upsilon ^2}}}{{{c^2}}}} }} — {m_0}{c^2}\;\;\;\;(2)\]

В этой формуле \(m_0\) — масса покоя электрона, равная 9,1·10^-31 кг, \(c\) — скорость света в вакууме, равная 3·10⁸ м/с.

Учитывая (2), формула (1) примет вид:

\[eU = \frac{{{m_0}{c^2}}}{{\sqrt {1 — \frac{{{\upsilon ^2}}}{{{c^2}}}} }} — {m_0}{c^2}\;\;\;\;(3)\]

Релятивистскую массу электрона \(m\), т.е. массу электрона, движущегося относительно наблюдателя с некоторой скоростью \(\upsilon\), можно определить по формуле:

\[m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 — \frac{{{\upsilon ^2}}}{{{c^2}}}} }}\;\;\;\;(4)\]

Учитывая (4), формула (3) примет вид:

\[eU = m{c^2} — {m_0}{c^2}\]

Так как по условию масса электрона \(m\) стала равной удвоенной массе покоя \(m_0\), то есть \(m=2m_0\), имеем:

\[eU = 2{m_0}{c^2} — {m_0}{c^2}\]

\[eU = {m_0}{c^2}\]

Откуда разность потенциалов \(U\), пройденная электроном, равна:

\[U = \frac{{{m_0}{c^2}}}{e}\]

Посчитаем численный ответ:

\[U = \frac{{9,1 \cdot {{10}^{ — 31}} \cdot {{\left( {3 \cdot {{10}^8}} \right)}^2}}}{{1,6 \cdot {{10}^{ — 19}}}} = 511875\;В \approx 512\;кВ\]