Решение: Две пластины конденсатора площадью 2 дм2 находятся в керосине на расстоянии 4 мм

Условие задачи:

Две пластины конденсатора площадью 2 дм² находятся в керосине на расстоянии 4 мм друг от друга. С какой силой они взаимодействуют, если пластины заряжены до разности потенциалов 150 В?

Задача №6.4.23 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(S=2\) дм², \(\varepsilon=2\), \(d=4\) мм, \(U=150\) В, \(F-?\)

Решение задачи:

Искомую силу \(F\), с которой взаимодействуют пластины конденсатора, можно найти по такой формуле:

\[F = Eq\;\;\;\;(1)\]

Поясню, что здесь \(q\) — это модуль заряда одной обкладки (например, отрицательно заряженной), на которую действует сила, а \(E\) — это напряженность поля, создаваемого другой обкладкой конденсатора (получается, уже положительной), а не двумя, поэтому здесь категорически нельзя пользоваться формулой:

\[E = \frac{U}{d}\]

Еще раз повторяюсь, что эту формулу использовать нельзя! На самом деле, эту напряженность нужно еще поделить на 2 (потому что две обкладки, заряженные одинаковым по модулю, но разным по знаку зарядом, создают два одинаковых поля), но я покажу строгое решение этой задачи.

Запишем формулу электроемкости и выразим оттуда заряд \(q\):

\[C = \frac{q}{U}\]

\[q = CU\;\;\;\;(2)\]

Электроемкость плоского конденсатора определим по формуле:

\[C = \frac{{\varepsilon {\varepsilon _0}S}}{d}\]

Тогда формула (2) примет вид:

\[q = \frac{{\varepsilon {\varepsilon _0}SU}}{d}\;\;\;\;(3)\]

Модуль напряженности поля, создаваемого одной из обкладок конденсатора, определяют по формуле:

\[E = \frac{\sigma }{{2\varepsilon {\varepsilon _0}}}\]

Здесь \(\sigma\) — поверхностная плотность заряда, которая равна отношению заряда пластины \(q\) к ее площади \(S\):

\[\sigma = \frac{q}{S}\]

Тогда:

\[E = \frac{q}{{2\varepsilon {\varepsilon _0}S}}\]

Подставим полученное выражение в формулу (1):

\[F = \frac{{{q^2}}}{{2\varepsilon {\varepsilon _0}S}}\]

А в эту формулу подставим выражение (3):

\[F = \frac{1}{{2\varepsilon {\varepsilon _0}S}} \cdot {\left( {\frac{{\varepsilon {\varepsilon _0}SU}}{d}} \right)^2}\]

\[F = \frac{1}{{2\varepsilon {\varepsilon _0}S}} \cdot \frac{{{\varepsilon ^2}\varepsilon _0^2{S^2}{U^2}}}{{{d^2}}}\]

\[F = \frac{{\varepsilon {\varepsilon _0}S{U^2}}}{{2{d^2}}}\]

Задача решена, посчитаем ответ:

\[F = \frac{{2 \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ — 12}} \cdot 2 \cdot {{10}^{ — 2}} \cdot {{150}^2}}}{{2 \cdot {{\left( {4 \cdot {{10}^{ — 3}}} \right)}^2}}} = 2,5 \cdot {10^{ — 4}}\;Н = 0,25\;мН\]