Решение: Если нагреть 1 моль идеального газа на 1 К при постоянном объеме, то давление возрастет

Условие задачи:

Если нагреть 1 моль идеального газа на 1 К при постоянном объеме, то давление возрастет на 10 Па. Если из того же исходного состояния нагреть газ на 1 К при постоянном давлении, то объем увеличивается на 0,001 м³. Вычислите температуру газа в исходном состоянии.

Задача №4.2.74 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\nu=1\) моль, \(\Delta T=1\) К, \(V=const\), \(\Delta p=10\) Па, \(p=const\), \(\Delta V=0,001\) м³, \(T-?\)

Решение задачи:

Три раза запишем уравнение Клапейрона-Менделеева: для исходного состояния газа, а также для конечного состояния газа после изохорного и изобарного нагревания.

\[\left\{ \begin{gathered}
pV = \nu RT \;\;\;\;(1)\hfill \\
\left( {p + \Delta p} \right)V = \nu R\left( {T + \Delta T} \right) \;\;\;\;(2)\hfill \\
p\left( {V + \Delta V} \right) = \nu R\left( {T + \Delta T} \right) \;\;\;\;(3)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Искомую начальную температуру газа \(T\) выразим из уравнения (1):

\[T = \frac{{pV}}{{\nu R}}\;\;\;\;(4)\]

Если вычесть из уравнения (2) уравнение (1), то получим такое равенство:

\[\Delta pV = \nu R\Delta T\]

Откуда начальный объем газа \(V\) равен:

\[V = \frac{{\nu R\Delta T}}{{\Delta p}}\]

Также, если вычесть из уравнения (3) уравнение (1), получим:

\[p\Delta V = \nu R\Delta T\]

Откуда начальное давление газа \(p\) равно:

\[p = \frac{{\nu R\Delta T}}{{\Delta V}}\]

Осталось только подставить в формулу (4) полученные выражения для начального давления и объема:

\[T = \frac{1}{{\nu R}} \cdot \frac{{\nu R\Delta T}}{{\Delta V}} \cdot \frac{{\nu R\Delta T}}{{\Delta p}}\]