Решение: Имеется 4 г радиоактивного кобальта. Сколько граммов кобальта распадается за 216 суток

Условие задачи:

Имеется 4 г радиоактивного кобальта. Сколько граммов кобальта распадается за 216 суток, если его период полураспада 72 суток?

Задача №11.8.18 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m_0=4\) г, \(t=216\) сут, \(T=72\) сут, \(\Delta m-?\)

Решение задачи:

Согласно закону радиоактивного распада, число нераспавшихся ядер \(N\), содержащихся в образце в произвольный момент времени \(t\), можно определить через начальное число ядер в образце \(N_0\) и период полураспада \(T\), по следующей зависимости:

\[N = {N_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\;\;\;\;(1)\]

Число распавшихся ядер \(\Delta N\), очевидно, можно найти следующим образом:

\[\Delta N = {N_0} — N\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (1) в формулу (2), тогда:

\[\Delta N = {N_0} — {N_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\]

\[\Delta N = {N_0}\left( {1 — {2^{ — \frac{t}{T}}}} \right)\;\;\;\;(3)\]

Покажем, что полученный закон можно записать через массы, а не количества ядер (атомов). Для этого запишем две формулы определения количества вещества \(\nu\):

\[\left\{ \begin{gathered}
\nu = \frac{N}{{{N_А}}} \hfill \\
\nu = \frac{m}{M} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Здесь \(N_А\) — постоянная Авогадро, \(M\) — молярная масса вещества. Тогда:

\[\frac{N}{{{N_А}}} = \frac{m}{M}\]

\[m = N\frac{M}{{{N_А}}}\]

Отсюда видно, что массу можно найти через количество атомов, умножив на некоторое число, которое постоянно для каждого вещества. Поэтому формулу (3) можно записать в виде:

\[\Delta m = {m_0}\left( {1 — {2^{ — \frac{t}{T}}}} \right)\]

Подставим данные задачи в полученную формулу и произведем расчет численного ответа (период полураспада и время мы не переводим в СИ):

\[\Delta m = 0,004 \cdot \left( {1 — {2^{ — \frac{{216}}{{72}}}}} \right) = 0,0035\;кг = 3,5\;г\]