Решение: Импульс, переносимый монохроматическим пучком фотонов через площадку 2 см^2

Условие задачи:

Импульс, переносимый монохроматическим пучком фотонов через площадку 2 см² за время 0,5 мин, равен 3·10^-9 кг·м/с. Найти для этого пучка энергию, падающую на единицу площади за единицу времени.

Задача №11.1.31 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(S=2\) см², \(t=0,5\) мин, \(p=3 \cdot 10^{-9}\) кг·м/с, \(E-?\)

Решение задачи:

Количество фотонов, проходящих через единицу площади в единицу времени, есть величина постоянная, поэтому справедливо следующее равенство:

\[\frac{N}{{St}} = \frac{{{N_0}}}{{{S_0}{t_0}}}\;\;\;\;(1)\]

Здесь \(N\) — число фотонов, проходящих через площадь \(S\) за время \(t\), \(N_0\) — число фотонов, проходящих через единичную площадь \(S_0\), равную 1 м², за время \(t_0\), равное 1 с.

Из равенства (1) имеем:

\[{N_0} = N\frac{{{S_0}{t_0}}}{{St}}\;\;\;\;(2)\]

Сначала найдем импульс, переносимый одним фотоном \(p_0\), для чего запишем формулу длины волны де Бройля \(\lambda\):

\[\lambda = \frac{h}{p_0}\]

В этой формуле \(h\) — это постоянная Планка, равная 6,62·10^-34 Дж·с. Отсюда выразим импульс одного фотона \(p_0\):

\[p_0 = \frac{h}{\lambda }\;\;\;\;(3)\]

Известно, что частоту колебаний \(\nu\) можно выразить через скорость света \(c\), которая равна 3·10⁸ м/с, и длину волны \(\lambda\) по следующей формуле:

\[\nu = \frac{c}{\lambda }\]

Из этой формулы выразим длину волны \(\lambda\):

\[\lambda = \frac{c}{\nu }\]

Это выражение подставим в формулу (3), тогда имеем:

\[p_0 = \frac{{h\nu }}{c}\;\;\;\;(4)\]

Очевидно, что \(N\) фотонов переносят в \(N\) раз больший импульс, поэтому:

\[p = N{p_0}\]

Учитывая (4), имеем:

\[p = \frac{{Nh\nu }}{c}\]

Отсюда выразим число фотонов \(N\):

\[N = \frac{{pc}}{{h\nu }}\]

Полученное выражение подставим в формулу (2), тогда:

\[{N_0} = \frac{{pc{S_0}{t_0}}}{{h\nu St}}\;\;\;\;(5)\]

Искомую энергию пучка фотонов \(E\), падающих на единичную площадь \(S_0\) за единичное время \(t_0\), можно определить по следующей формуле (согласно формуле Планка, учитывая, что в пучке \(N_0\) фотонов):

\[E = {N_0}h\nu \]

Принимая во внимание формулу (5), окончательно получим:

\[E = \frac{{pc{S_0}{t_0}h\nu }}{{h\nu St}}\]

\[E = \frac{{pc{S_0}{t_0}}}{{St}}\]

Задача решена в общем виде, посчитаем численный ответ:

\[E = \frac{{3 \cdot {{10}^{ — 9}} \cdot 3 \cdot {{10}^8} \cdot 1 \cdot 1}}{{2 \cdot {{10}^{ — 4}} \cdot 30}} = 150\;Дж\]