Условие задачи:

Из точки A вертикально вверх брошено тело с начальной скоростью 10 м/с. Когда оно достигло высшей точки своей траектории, из точки A бросают вертикально вверх тело с начальной скоростью 20 м/с. Через какое время после начала движения второго тела произойдет встреча этих тел?

Задача №1.4.18 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$\upsilon_{01}=10$ м/с, $\upsilon_{02}=20$ м/с, $t_2-?$

Решение задачи:

Запишем уравнения движения данных двух тел в проекции на ось $y$. При этом учтем, что второе тело начинает двигаться позднее, через время $t_1$, необходимое первому телу для достижения наивысшей точки подъема.

$$\left\{ \begin{gathered} oy:y = {\upsilon _{01}}t — \frac{{g{t^2}}}{2} \hfill \\ oy:y = {\upsilon _{02}}\left( {t — {t_1}} \right) — \frac{{g{{\left( {t — {t_1}} \right)}^2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Найдем время $t_1$, для этого запишем уравнение скорости первого тела, спроецированное на ось $y$. В верхней точке его скорость будет равна нулю, поэтому верно следующее.

$$\upsilon  = {\upsilon _{01}} — gt_1$$

$$\upsilon  = 0 \Rightarrow {t_1} = \frac{{{\upsilon _{01}}}}{g}$$

Когда два тела встретятся, их координаты будут равны, поэтому приравняем оба уравнения, которые мы записали в системе, раскроем скобки и перенесем слагаемые с неизвестным $t$ в одну сторону.

$${\upsilon _{02}}\left( {t — {t_1}} \right) — \frac{{g{{\left( {t — {t_1}} \right)}^2}}}{2} = {\upsilon _{01}}t — \frac{{g{t^2}}}{2}$$

$${\upsilon _{02}}t — {\upsilon _{02}}{t_1} — \frac{{g{t^2}}}{2} + gt{t_1} — \frac{{gt_1^2}}{2} = {\upsilon _{01}}t — \frac{{g{t^2}}}{2}$$

$$t\left( {{\upsilon _{02}} — {\upsilon _{01}} + g{t_1}} \right) = {\upsilon _{02}}{t_1} + \frac{{gt_1^2}}{2}$$

Нам уже известно, что ${t_1} = \frac{{{\upsilon _{01}}}}{g}$, поэтому:

$$t\left( {{\upsilon _{02}} — {\upsilon _{01}} + g\frac{{{\upsilon _{01}}}}{g}} \right) = {\upsilon _{02}}\frac{{{\upsilon _{01}}}}{g} + \frac{g}{2}\frac{{\upsilon _{01}^2}}{{{g^2}}}$$

$$t \cdot {\upsilon _{02}} = \frac{{{\upsilon _{01}} \cdot {\upsilon _{02}}}}{g} + \frac{{\upsilon _{01}^2}}{{2g}}$$

$$t = \frac{{{\upsilon _{01}}}}{g} + \frac{{\upsilon _{01}^2}}{{2g{\upsilon _{02}}}}$$

Отлично, но мы нашли формулу для вычисления времени до встречи, отсчитываемое от момента броска первого тела. Поэтому, если мы хотим найти время $t_2$ от момента броска второго тела до встречи двух тел в воздухе, то воспользуемся формулой:

$${t_2} = t — {t_1}$$

$${t_2} = \frac{{{\upsilon _{01}}}}{g} + \frac{{\upsilon _{01}^2}}{{2g{\upsilon _{02}}}} — \frac{{{\upsilon _{01}}}}{g} = \frac{{\upsilon _{01}^2}}{{2g{\upsilon _{02}}}}$$

Подставим числа и сосчитаем ответ:

$${t_2} = \frac{{{{10}^2}}}{{2 \cdot 10 \cdot 20}} = 0,25\; с = 250\; мс$$

Ответ: 250 мс.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

1.4.17 Камень, брошенный вертикально вверх, упал на Землю через 2 с. Определить
1.4.19 Камень упал в шахту. Определить глубину шахты, если звук от падения камня
1.4.20 Мяч брошен с земли вертикально вверх. На высоте 10 м он побывал два раза