Условие задачи:

Какой длины волны следует направить лучи на поверхность цинка, чтобы максимальная скорость фотоэлектронов была равна 2000 км/с? Красная граница фотоэффекта для цинка равна 0,35 мкм.

Задача №11.2.17 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\upsilon = 2000\) км/с, \(\lambda_{\max}=0,35\) мкм, \(\lambda-?\)

Решение задачи:

Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта энергия поглощенного кванта \(h\nu\) идет на совершение работы выхода \(A_{вых}\) и на сообщение кинетической энергии вылетевшему электрону \(\frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\). Поэтому:

\[h\nu = {A_{вых}} + \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(h\) — это постоянная Планка, равная 6,62·10^-34 Дж·с, \(m\) — масса электрона, равная 9,1·10^-31 кг.

Работа выхода \(A_{вых}\) — это минимальная работа, которую надо совершить, чтобы удалить электрон из металла.

Минимальная частота света \({\nu _{\min }}\), при которой ещё возможен фотоэффект, соответствует максимальной длине волны \(\lambda_{\max}\). Эту длину волны \(\lambda_{\max}\) называют красной границей фотоэффекта. При этом верно записать:

\[h{\nu _{\min }} = {A_{вых}}\;\;\;\;(2)\]

Частоту колебаний можно выразить через скорость света \(c\), которая равна 3·10⁸ м/с, и длину волны, имеем:

\[\left\{ \begin{gathered}
\nu = \frac{c}{\lambda } \hfill \\
{\nu _{\min }} = \frac{c}{{{\lambda _{\max }}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Подставим соответствующие выражения в формулы (1) и (2), получим следующую систему уравнений:

\[\left\{ \begin{gathered}
\frac{{hc}}{\lambda } = {A_{вых}} + \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2} \hfill \\
\frac{{hc}}{{{\lambda _{\max }}}} = {A_{вых}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Вычтем из первого уравнения второе, тогда получим:

\[\frac{{hc}}{\lambda } — \frac{{hc}}{{{\lambda _{\max }}}} = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\]

\[\frac{{hc}}{\lambda } = \frac{{hc}}{{{\lambda _{\max }}}} + \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\]

В правой части полученного уравнения приведем под общий знаменатель:

\[\frac{{hc}}{\lambda } = \frac{{2hc + {m_e}{\upsilon ^2}{\lambda _{\max }}}}{{2{\lambda _{\max }}}}\]

Откуда искомая длина волны \(\lambda\) равна:

\[\lambda = \frac{{2hc{\lambda _{\max }}}}{{2hc + {m_e}{\upsilon ^2}{\lambda _{\max }}}}\]

Задача решена в общем виде, теперь посчитаем численный ответ:

\[\lambda = \frac{{2 \cdot 6,62 \cdot {{10}^{ — 34}} \cdot 3 \cdot {{10}^8} \cdot 0,35 \cdot {{10}^{ — 6}}}}{{2 \cdot 6,62 \cdot {{10}^{ — 34}} \cdot 3 \cdot {{10}^8} + 9,1 \cdot {{10}^{ — 31}} \cdot {{\left( {2000 \cdot {{10}^3}} \right)}^2} \cdot 0,35 \cdot {{10}^{ — 6}}}} = 0,083 \cdot {10^{ — 6}}\;м = 0,083\;мкм\]

Ответ: 0,083 мкм.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

11.2.16 Определите работу выхода электрона из металла, если при облучении его желтым светом
11.2.18 На поверхность лития падает монохроматический свет с длиной волны 310 нм. Чтобы
11.2.19 Для полной задержки фотоэлектронов, выбитых из металла излучением с длиной волны