Решение: Какой максимальный заряд приобретает золотой шарик радиусом 0,1 м при освещении его

Условие задачи:

Какой максимальный заряд приобретает золотой шарик радиусом 0,1 м при освещении его поверхности светом с длиной волны 0,2 мкм? Работа выхода электронов из золота 4,59 эВ.

Задача №11.2.30 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R=0,1\) м, \(\lambda=0,2\) мкм, \(A_{вых} = 4,59\) эВ, \(q-?\)

Решение задачи:

Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта энергия поглощенного фотона \(h\nu\) идет на совершение работы выхода \(A_{вых}\) и на сообщение кинетической энергии вылетевшему электрону \(\frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\). Поэтому:

\[h\nu = {A_{вых}} + \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(h\) — это постоянная Планка, равная 6,62·10^-34 Дж·с.

Частоту колебаний \(\nu\) можно выразить через скорость света \(c\), которая равна 3·10⁸ м/с, и длину волны \(\lambda\) по следующей формуле:

\[\nu = \frac{c}{\lambda}\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (2) в формулу (1), тогда:

\[\frac{{hc}}{\lambda } = {A_{вых}} + \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\;\;\;\;(3)\]

Зададимся вопросом, почему заряд (а следовательно и потенциал золотого шарика) не может возрастать бесконечно. Когда фотон ультрафиолетового света вырвет первый электрон, то заряд шарика станет положительным и равным \(e\) (это модуль заряда электрона, равный 1,6·10^-19 Кл), а электрон удалится от шарика на бесконечное расстояние. При дальнейшем облучении шарика его заряд будет возрастать и настанет момент, когда вырванные электроны будут обратно притягиваться к шарику. При этом граничное условие для электрона, который ещё сможет вырваться навсегда из шарика и не вернется обратно к нему, по закону сохранения энергии можно записать:

\[ — \varphi e + \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2} = 0\]

То есть изначально у электрона (в момент выхода из атома золота) есть потенциальная энергия взаимодействия с заряженным шариком и кинетическая энергия, а на бесконечности энергии нет.

Здесь \(\varphi\) — конечный потенциал шарика, а знак «-» показывает знак заряда электрона. Имеем:

\[\frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2} = \varphi e\;\;\;\;(4)\]

Подставим выражение из (4) в уравнение (3), тогда:

\[\frac{{hc}}{\lambda } = {A_{вых}} + \varphi e\;\;\;\;(5)\]

Потенциал шарика \(\varphi\) (когда он будет иметь заряд \(q\), и вырванные электроны будут возвращаться обратно к шарику) можно найти по формуле:

\[\varphi = \frac{q}{C}\;\;\;\;(6)\]

Электроемкость металлического шарика \(C\) радиуса \(R\) найдем по известной формуле:

\[C = 4\pi {\varepsilon _0}R\]

В этой формуле \(\varepsilon _0\) — электрическая постоянная, равная 8,85·10^-12 Ф/м.

Тогда формула (6) примет следующий вид:

\[\varphi = \frac{q}{{4\pi {\varepsilon _0}R}}\]

Подставим полученное выражение в уравнение (5):

\[\frac{{hc}}{\lambda } = {A_{вых}} + \frac{{qe}}{{4\pi {\varepsilon _0}R}}\]

Тогда:

\[\frac{{hc}}{\lambda } — {A_{вых}} = \frac{{qe}}{{4\pi {\varepsilon _0}R}}\]

\[\frac{{hc — {A_{вых}}\lambda }}{\lambda } = \frac{{qe}}{{4\pi {\varepsilon _0}R}}\]

Окончательно получим:

\[q = \frac{{4\pi {\varepsilon _0}R\left( {hc — {A_{вых}}\lambda } \right)}}{{e\lambda }}\]

Задача решена в общем виде, посчитаем теперь численный ответ задачи (1 эВ = 1,6·10^-19 Дж):

\[q = \frac{{4 \cdot 3,14 \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ — 12}} \cdot 0,1 \cdot \left( {6,62 \cdot {{10}^{ — 34}} \cdot 3 \cdot {{10}^8} — 4,59 \cdot 1,6 \cdot {{10}^{ — 19}} \cdot 0,2 \cdot {{10}^{ — 6}}} \right)}}{{1,6 \cdot {{10}^{ — 19}} \cdot 0,2 \cdot {{10}^{ — 6}}}} = 1,8 \cdot {10^{ — 11}}\;Кл = 18\;пКл\]