Условие задачи:

Математический маятник совершает колебания. В положении наибольшего отклонения ускорение маятника в 10 раз больше, чем в момент прохождения равновесия. Найдите угол максимального отклонения маятника.

Задача №9.2.20 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\frac{a_2}{a_1}=10\), \(\alpha-?\)

Решение задачи:

Сперва будем определять ускорение маятника \(a_1\) в нижней точке траектории. Для этого нарисуем это положение маятника, при котором оно имеет максимальную скорость \(\upsilon\). Центростремительное ускорение маятника (а в этом положении маятник имеет только такое ускорение) можно найти по формуле:

\[a_1 = \frac{{{\upsilon ^2}}}{l}\]

Изначально тело находится на высоте \(H = l\left( {1 — \cos \alpha } \right)\). Из закона сохранения энергии следует (на рисунке показан уровень нуля потенциальной энергии):

\[mgH = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}\]

\[mgl\left( {1 — \cos \alpha } \right) = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}\]

\[{\upsilon ^2} = 2gl\left( {1 — \cos \alpha } \right)\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (2) в (1):

\[a_1= \frac{{2gl\left( {1 — \cos \alpha } \right)}}{l}\]

\[a_1 = 2g\left( {1 — \cos \alpha } \right)\;\;\;\;(1)\]

В крайнем положении маятника на него действует некомпенсированная сила \(mg\sin \alpha\), которая будет создавать тангенциальное ускорение маятника \(a_2\), равное из второго закона Ньютона:

\[m{a_2} = mg\sin \alpha \]

\[{a_2} = g\sin \alpha \;\;\;\;(2)\]

Из условия нам известно, что в положении наибольшего отклонения ускорение маятника в 10 раз больше, чем в момент прохождения равновесия, то есть \(\frac{a_2}{a_1}=10\), поэтому учитывая (1) и (2), имеем:

\[\frac{{g\sin \alpha }}{{2g\left( {1 — \cos \alpha } \right)}} = 10\]

\[\frac{{\sin \alpha }}{{2\left( {1 — \cos \alpha } \right)}} = 10\]

\[\sin \alpha = 20 — 20\cos \alpha \]

\[\sin \alpha + 20\cos \alpha = 20\]

Разделим обе части получившегося уравнения на \(\sqrt {{1^2} + {{20}^2}} = \sqrt {401}\):

\[\frac{1}{{\sqrt {401} }}\sin \alpha + \frac{{20}}{{\sqrt {401} }}\cos \alpha = \frac{{20}}{{\sqrt {401} }}\;\;\;\;(3)\]

Тогда:

\[\left\{ \begin{gathered}
\cos \varphi = \frac{{20}}{{\sqrt {401} }} \hfill \\
\sin \varphi = \frac{1}{{\sqrt {401} }} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Откуда \(\varphi = \arccos \frac{{20}}{{\sqrt {401} }}\). В таком случае уравнение (3) сводится к виду:

\[\cos \left( {\alpha — \varphi } \right) = \frac{{20}}{{\sqrt {401} }}\]

\[\alpha — \varphi = \pm \arccos \frac{{20}}{{\sqrt {401} }}\]

\[\left[ \begin{gathered}
\alpha = 0 \hfill \\
\alpha = 2\arccos \frac{{20}}{{\sqrt {401} }} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Имеем два корня, один из которых, естественно, не может быть решением данной задачи.

Окончательный ответ:

\[\alpha = 2\arccos \frac{{20}}{{\sqrt {401} }} = 5,72^\circ \]

Ответ: 5,72°.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

9.2.19 Первый шарик, подвешенный на нити длиной 1 м, отклонили от положения равновесия
9.2.21 Кубик совершает малые колебания в вертикальной плоскости, двигаясь без трения
9.2.22 Небольшой металлический шарик массой 10 г, подвешенный на нити длиной 0,1 м