Условие задачи:

Материальная точка совершает гармонические колебания. Если при неизменной амплитуде уменьшить частоту колебаний в четыре раза, во сколько раз изменится максимальное значение возвращающей силы, действующей на точку.

Задача №9.1.26 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$\nu_2=\frac{\nu_1}{4}$, $\frac{F_{\max1}}{F_{\max2}}-?$

Решение задачи:

Если материальная точка совершает гармонические колебания, то уравнение этих колебаний можно представить в виде:

$$x = A\sin \left( {\omega t} \right)$$

В этой формуле $A$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая частота колебаний.

Чтобы найти уравнение ускорения точки при этих колебаниях, нужно дважды взять производную от уравнения колебаний. Сначала возьмем первую производную:

$$x^{\prime} = A\omega \cos \left( {\omega t} \right)$$

Теперь берем вторую производную:

$$x^{\prime\prime} = — A{\omega ^2}\sin \left( {\omega t} \right)$$

То есть мы имеем:

$$a = — A{\omega ^2}\sin \left( {\omega t} \right)$$

Понятно, что максимальное по модулю значение ускорения в таком случае следует искать по формуле:

$${a_{\max }} = A{\omega ^2}\;\;\;\;(1)$$

Циклическая частота колебаний $\omega$ и частота колебаний $\nu$ связаны по известной формуле:

$$\omega = 2\pi \nu$$

Тогда формула (1) примет вид:

$${a_{\max }} = 4{\pi ^2}{\nu ^2}A\;\;\;\;(2)$$

Максимальную возвращающую силу $F_{\max}$ следует определять по формуле (это второй закон Ньютона):

$${F_{\max }} = m{a_{\max }}$$

Тогда искомое отношение $\frac{F_{\max1}}{F_{\max2}}$ равно:

$$\frac{{{F_{\max 1}}}}{{{F_{\max 2}}}} = \frac{{m{a_{\max 1}}}}{{m{a_{\max 2}}}}$$

$$\frac{{{F_{\max 1}}}}{{{F_{\max 2}}}} = \frac{{{a_{\max 1}}}}{{{a_{\max 2}}}}$$

Учитывая формулу (2), имеем:

$$\frac{{{F_{\max 1}}}}{{{F_{\max 2}}}} = \frac{{4{\pi ^2}\nu _1^2A}}{{4{\pi ^2}\nu _2^2A}}$$

$$\frac{{{F_{\max 1}}}}{{{F_{\max 2}}}} = \frac{{\nu _1^2}}{{\nu _2^2}}$$

В условии говорится, что частоту колебаний уменьшают в четыре раза, то есть $\nu_2=\frac{\nu_1}{4}$, поэтому:

$$\frac{{{F_{\max 1}}}}{{{F_{\max 2}}}} = \frac{{\nu _1^2 \cdot 16}}{{\nu _1^2}} = 16$$

Ответ: уменьшится в 16 раз.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

9.1.25 Материальная точка совершает гармонические колебания. Если при неизменной
9.2.1 Во сколько раз изменится частота колебаний математического маятника
9.2.2 Амплитуда колебаний математического маятника 10 см. Наибольшая скорость 0,5 м/с