Условие задачи:
Через какое время распадается 80% атомов радиоактивного изотопа хрома \(_{24}^{51}Cr\), если его период полураспада 27,8 суток?
Задача №11.8.1 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(\alpha=0,8\), \(_{24}^{51}Cr\), \(T=27,8\) сут, \(t-?\)
Решение задачи:
Согласно закону радиоактивного распада, число нераспавшихся ядер \(N\), содержащихся в образце в произвольный момент времени \(t\), можно определить через начальное число ядер в образце \(N_0\) и период полураспада \(T\), по следующей зависимости:
\[N = {N_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\;\;\;\;(1)\]
Число распавшихся ядер \(\Delta N\), очевидно, можно найти следующим образом:
\[\Delta N = {N_0} — N\;\;\;\;(2)\]
Подставим выражение (1) в формулу (2), тогда:
\[\Delta N = {N_0} — {N_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\]
\[\Delta N = {N_0}\left( {1 — {2^{ — \frac{t}{T}}}} \right)\;\;\;\;(3)\]
Понятно, что долю распавшихся ядер \(\alpha\) можно определить по формуле:
\[\alpha = \frac{{\Delta N}}{{{N_0}}}\;\;\;\;(4)\]
Подставим выражение (3) в формулу (4), тогда:
\[\alpha = 1 — {2^{ — \frac{t}{T}}}\]
\[{2^{ — \frac{t}{T}}} = 1 — \alpha \]
Прологарифмируем обе части это уравнения:
\[\ln {2^{ — \frac{t}{T}}} = \ln \left( {1 — \alpha } \right)\]
\[ — \frac{t}{T}\ln 2 = \ln \left( {1 — \alpha } \right)\]
В итоге мы получим такую окончательную формулу:
\[t = \frac{{ — T \cdot \ln \left( {1 — \alpha } \right)}}{{\ln 2}}\]
Подставим данные задачи в полученную формулу и произведем расчет численного ответа (период полураспада мы не переводим в СИ, поэтому и ответ получаем в тех же единицах, что и период полураспада):
\[t = \frac{{ — 27,8 \cdot \ln \left( {1 — 0,8} \right)}}{{\ln 2}} = 64,55\;суток\]
Ответ: 64,55 сут.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
11.7.17 На сколько уменьшается при альфа-распаде заряд радиоактивного ядра?
11.8.2 За какое время в препарате, содержащем 4*10^9 ядер с периодом полураспада 100 лет
11.8.3 Сколько атомов полония распадается за сутки из 10^6 атомов, если период полураспада
А зачем так усложнять?
Все гораздо проще:
N0/N= 100% / 20% = 5.
t = 27,8*LOG(5;2) — вычисление в таблице Excel: 64,54960104
очень понятное развернутое обьяснение .отлично .