Решение: Для некоторого металла фотоэффект имеет место, в частности, при длине волны 300 нм

Условие задачи:

Для некоторого металла фотоэффект имеет место, в частности, при длине волны 300 нм. Во сколько раз эта длина волны меньше, чем длина волны, соответствующая красной границе фотоэффекта для этого металла? Работа выхода электрона для этого металла 2 эВ.

Задача №11.2.11 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\lambda = 300\) нм, \(A_{вых}=2\) эВ, \(\frac{\lambda_{\max}}{\lambda}-?\)

Решение задачи:

Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта энергия поглощенного кванта \(h\nu\) идет на совершение работы выхода \(A_{вых}\) и на сообщение кинетической энергии вылетевшему электрону \(\frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\).

Работа выхода \(A_{вых}\) — это минимальная работа, которую надо совершить, чтобы удалить электрон из металла.

Минимальная частота света \({\nu _{\min }}\), при которой ещё возможен фотоэффект, соответствует максимальной длине волны \(\lambda_{\max}\). Эту длину волны \(\lambda_{\max}\) называют красной границей фотоэффекта. При этом верно записать:

\[h{\nu _{\min }} = {A_{вых}}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(h\) — это постоянная Планка, равная 6,62·10^-34 Дж·с.

Частоту колебаний можно выразить через скорость света \(c\), которая равна 3·10⁸ м/с, и длину волны по следующей формуле:

\[\nu_{\min} = \frac{c}{\lambda_{\max}}\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (2) в формулу (1), тогда:

\[\frac{{hc}}{{{\lambda _{\max }}}} = {A_{вых}}\]

Откуда красная граница фотоэффекта \(\lambda_{\max}\) равна:

\[{\lambda _{\max }} = \frac{{hc}}{{{A_{вых}}}}\]

В таком случае искомое отношение \(\frac{\lambda_{\max}}{\lambda}\) равно:

\[\frac{{{\lambda _{\max }}}}{\lambda } = \frac{{hc}}{{{A_{вых}}\lambda }}\]

Посчитаем численный ответ (напоминаем, что 1 эВ = 1,6·10^-19 Дж):

\[\frac{{{\lambda _{\max }}}}{\lambda } = \frac{{6,62 \cdot {{10}^{ — 34}} \cdot 3 \cdot {{10}^8}}}{{2 \cdot 1,6 \cdot {{10}^{ — 19}} \cdot 300 \cdot {{10}^{ — 9}}}} = 2,07\]