Решение: Из теории Бора атома водорода следует, что при переходе электрона с одной орбиты

Условие задачи:

Из теории Бора атома водорода следует, что при переходе электрона с одной орбиты на другую с увеличением радиуса орбиты в 4 раза кинетическая энергия электрона изменяется. Как?

Задача №11.4.14 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R_2=4R_1\), \(\frac{E_1}{E_2}-?\)

Решение задачи:

В модели атома Резерфорда отрицательно заряженные электроны вращаются по орбитам вокруг положительно заряженного ядра атома с некоторой скоростью \(\upsilon\). Ядро атома водорода состоит из одного протона, заряд которого по модулю равен заряду электрона (\(e=1,6 \cdot 10^{-19}\) Кл).

Кинетическую энергию электрона \(E_к\) будем определять по известной формуле:

\[E = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\;\;\;\;(1)\]

Сила кулоновского взаимодействия ядра водорода (то есть протона) и электрона создает центростремительное ускорение электрона, поэтому из второго закона Ньютона справедливо записать:

\[\frac{{k{e^2}}}{{{R^2}}} = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{R}\]

Здесь \(k\) — коэффициент пропорциональности в законе Кулона, равный 9·10⁹ Н·м²/Кл², \(m_e\) — масса электрона, равная 9,1·10^-31 кг, \(R\) — радиус орбиты электрона.

Тогда сократив по радиусу \(R\) в знаменателях, имеем:

\[\frac{{k{e^2}}}{R} = {m_e}{\upsilon ^2}\]

Поделим обе части этого равенства на 2, тогда:

\[\frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2} = \frac{{k{e^2}}}{2R}\]

Учитывая (1), окончательно имеем:

\[E = \frac{{k{e^2}}}{2R}\]

Запишем полученную формулу для двух орбит, о которых говорится в условии задачи:

\[\left\{ \begin{gathered}
{E_1} = \frac{{k{e^2}}}{{2{R_1}}} \hfill \\
{E_2} = \frac{{k{e^2}}}{{2{R_2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда отношение энергий \(\frac{E_1}{E_2}\), которое позволит нам найти ответ на вопрос задачи, равно:

\[\frac{{{E_1}}}{{{E_2}}} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\]

По условию задачи радиуса орбиты увеличивается в 4 раза, то есть \(R_2=4R_1\), поэтому:

\[\frac{{{E_1}}}{{{E_2}}} = \frac{{4{R_1}}}{{{R_1}}} = 4\]