Решение: На сколько градусов нагреется за 1 с капля воды массой 0,2 г, если она ежесекундно

Условие задачи:

На сколько градусов нагреется за 1 с капля воды массой 0,2 г, если она ежесекундно поглощает 10¹⁰ фотонов с длиной волны 0,75 мкм? Потерями энергии пренебречь.

Задача №11.1.29 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(t=1\) с, \(m=0,2\) г, \(N=10^{10}\), \(\lambda=0,75\) мкм, \(\Delta \tau -?\)

Решение задачи:

Ясно, что энергия излучения, равная общей энергии всех фотонов \(E\), которые поглощаются водой за время \(t\), равно количеству теплоты \(Q\), необходимое на изменение температуры воды массой \(m\) на искомую величину \(\Delta \tau\), поэтому:

\[E = Q\;\;\;\;(1)\]

Указанное количество теплоты \(Q\) мы можем определить по формуле:

\[Q = {c_в}m\Delta \tau \;\;\;\;(2)\]

В этой формуле \(c_в\) — удельная теплоемкость воды, равная 4200 Дж/(кг·°C).

Очевидно, что общая энергия всех фотонов \(E\) равна произведению энергии одного фотона \({E_0}\) на количество этих фотонов \(N\):

\[E = N{E_0}\;\;\;\;(3)\]

Согласно формуле Планка, энергия фотона \(E\) пропорциональна частоте колебаний \(\nu\) и определяется следующим образом:

\[{E_0} = h\nu \;\;\;\;(4)\]

В этой формуле \(h\) — это постоянная Планка, равная 6,62·10^-34 Дж·с.

Известно, что частоту колебаний \(\nu\) можно выразить через скорость света \(c\), которая равна 3·10⁸ м/с, и длину волны \(\lambda\) по следующей формуле:

\[\nu = \frac{c}{\lambda }\;\;\;\;(5)\]

Подставим сначала (5) в (4), далее полученное подставим в (3), тогда получим:

\[E = \frac{{Nhc}}{\lambda }\;\;\;\;(6)\]

Выражения (6) и (2) подставим в равенство (1):

\[\frac{{Nhc}}{\lambda } = {c_в}m\Delta \tau \]

Откуда искомое изменение температуры \(\Delta \tau\) равно:

\[\Delta \tau = \frac{{Nhc}}{{{c_в}m\lambda }}\]

Мы получили решение задачи в общем виде, подставим численные данные задачи в формулу и посчитаем численный ответ задачи:

\[\Delta \tau = \frac{{{{10}^{10}} \cdot 6,62 \cdot {{10}^{ — 34}} \cdot 3 \cdot {{10}^8}}}{{4200 \cdot 0,2 \cdot {{10}^{ — 3}} \cdot 0,75 \cdot {{10}^{ — 6}}}} = 3,15 \cdot {10^{ — 9}}\;^{\circ}C\]