Решение: Найдите скорость электрона на первой боровской орбите в атоме водорода, у которой

Условие задачи:

Найдите скорость электрона на первой боровской орбите в атоме водорода, у которой радиус равен 0,053 нм.

Задача №11.4.8 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R=0,053\) нм, \(\upsilon-?\)

Решение задачи:

В модели атома Резерфорда отрицательно заряженный электрон вращается вокруг положительно заряженного ядра атома с некоторой скоростью \(\upsilon\). По условию задачи радиус орбиты электрона равен \(R\). Ядро атома водорода есть протон (нейтронов там нет, так как это не изотоп), заряд которого по модулю равен заряду электрона (\(e=1,6 \cdot 10^{-19}\) Кл). Получается, что сила кулоновского взаимодействия зарядов электрона и протона создает центростремительное ускорение электрона, поэтому из второго закона Ньютона справедливо записать:

\[\frac{{k{e^2}}}{{{R^2}}} = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{R}\]

Здесь \(k\) — коэффициент пропорциональности в законе Кулона, равный 9·10⁹ Н·м²/Кл², \(m_e\) — масса электрона, равная 9,1·10^-31 кг.

Тогда сократив по радиусу \(R\) в знаменателях, имеем:

\[\frac{{k{e^2}}}{R} = {m_e}{\upsilon ^2}\]

Откуда скорость вращения электрона по орбите \(\upsilon\) равна:

\[\upsilon = e\sqrt {\frac{k}{{{m_e}R}}} \]

Задача решена в общем виде, теперь произведем расчет численного ответа:

\[\upsilon = 1,6 \cdot {10^{ — 19}}\sqrt {\frac{{9 \cdot {{10}^9}}}{{9,1 \cdot {{10}^{ — 31}} \cdot 0,53 \cdot {{10}^{ — 10}}}}} = 2,186 \cdot {10^6}\;м/с\]