Решение: Найти задерживающий потенциал для фотоэлектронов при действии на калий излучения

Условие задачи:

Найти задерживающий потенциал для фотоэлектронов при действии на калий излучения с длиной волны 0,33 мкм, если красная граница фотоэффекта для него 0,62 мкм.

Задача №11.2.23 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\lambda = 0,33\) мкм, \(\lambda_{\max} = 0,62\) мкм, \(U_з-?\)

Решение задачи:

Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта энергия поглощенного кванта \(h\nu\) идет на совершение работы выхода \(A_{вых}\) и на сообщение кинетической энергии вылетевшему электрону \(\frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\). Поэтому:

\[h\nu = {A_{вых}} + \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(h\) — это постоянная Планка, равная 6,62·10^-34 Дж·с, \(m_e\) — масса электрона, равная 9,1·10^-31 кг.

Если изменить полярность источника напряжения в установке для исследования фотоэффекта, то электрическое поле между катодом и анодом будет тормозить фотоэлектроны. При задерживающем напряжении \(U_з\) фототок становится равным нулю. При этом по закону сохранения энергии справедливо равенство:

\[\frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2} = e{U_з}\;\;\;\;(2)\]

Принимая во внимание равенство (2), уравнение (1) примет вид:

\[h\nu = {A_{вых}} + e{U_з}\;\;\;\;(3)\]

Работа выхода \(A_{вых}\) — это минимальная работа, которую надо совершить, чтобы удалить электрон из металла.

Минимальная частота света \({\nu _{\min }}\), при которой ещё возможен фотоэффект, соответствует максимальной длине волны \(\lambda_{\max}\). Эту длину волны \(\lambda_{\max}\) называют красной границей фотоэффекта. При этом верно записать:

\[h{\nu _{\min }} = {A_{вых}}\;\;\;\;(4)\]

Частоту колебаний можно выразить через скорость света \(c\), которая равна 3·10⁸ м/с, и длину волны, имеем:

\[\left\{ \begin{gathered}
\nu = \frac{c}{\lambda } \hfill \\
{\nu _{\min }} = \frac{c}{{{\lambda _{\max }}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Подставим соответствующие выражения в формулы (3) и (4), получим следующую систему уравнений:

\[\left\{ \begin{gathered}
\frac{{hc}}{\lambda } = {A_{вых}} + e{U_з} \hfill \\
\frac{{hc}}{{{\lambda _{\max }}}} = {A_{вых}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда имеем:

\[\frac{{hc}}{\lambda } — \frac{{hc}}{{{\lambda _{\max }}}} = e{U_з}\]

Приведем в левой части уравнения под общий знаменатель:

\[\frac{{hc\left( {{\lambda _{\max }} — \lambda } \right)}}{{\lambda {\lambda _{\max }}}} = e{U_з}\]

Откуда задерживающий потенциал для фотоэлектронов \(U_з\) равен:

\[{U_з} = \frac{{hc\left( {{\lambda _{\max }} — \lambda } \right)}}{{e\lambda {\lambda _{\max }}}}\]

Задача решена в общем виде, теперь посчитаем численный ответ:

\[{U_з} = \frac{{6,62 \cdot {{10}^{ — 34}} \cdot 3 \cdot {{10}^8} \cdot \left( {0,62 \cdot {{10}^{ — 6}} — 0,33 \cdot {{10}^{ — 6}}} \right)}}{{1,6 \cdot {{10}^{ — 19}} \cdot 0,33 \cdot {{10}^{ — 6}} \cdot 0,62 \cdot {{10}^{ — 6}}}} = 1,76\;В\]