Условие задачи:

Некий радиоактивный препарат имеет период полураспада \(T\) с. Через какое время распадется 75% первоначального количества атомов?

Задача №11.8.16 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(T\), \(\alpha=0,75\), \(t-?\)

Решение задачи:

Согласно закону радиоактивного распада, число нераспавшихся ядер \(N\), содержащихся в образце в произвольный момент времени \(t\), можно определить через начальное число ядер в образце \(N_0\) и период полураспада \(T\), по следующей зависимости:

\[N = {N_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\;\;\;\;(1)\]

Число распавшихся ядер \(\Delta N\), очевидно, можно найти следующим образом:

\[\Delta N = {N_0} — N\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (1) в формулу (2), тогда:

\[\Delta N = {N_0} — {N_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\]

\[\Delta N = {N_0}\left( {1 — {2^{ — \frac{t}{T}}}} \right)\;\;\;\;(3)\]

Понятно, что долю распавшихся ядер \(\alpha\) можно определить по формуле:

\[\alpha = \frac{{\Delta N}}{{{N_0}}}\;\;\;\;(4)\]

Подставим выражение (3) в формулу (4), тогда:

\[\alpha = 1 — {2^{ — \frac{t}{T}}}\]

\[{2^{ — \frac{t}{T}}} = 1 — \alpha \]

Прологарифмируем обе части это уравнения:

\[\ln {2^{ — \frac{t}{T}}} = \ln \left( {1 — \alpha } \right)\]

\[ — \frac{t}{T}\ln 2 = \ln \left( {1 — \alpha } \right)\]

В итоге мы получим такую окончательную формулу:

\[t = \frac{{ — T \cdot \ln \left( {1 — \alpha } \right)}}{{\ln 2}}\]

По условию задачи распадется 75% первоначального количества атомов, то есть \(\alpha=0,75\), поэтому:

\[t = \frac{{ — T \cdot \ln \left( {1 — 0,75} \right)}}{{\ln 2}}\]

\[t = \frac{{ — T \cdot \ln 0,25}}{{\ln 2}}\]

\[t = \frac{{ — T \cdot \ln {2^{ — 2}}}}{{\ln 2}}\]

\[t = \frac{{ — T \cdot \left( { — 2} \right) \cdot \ln 2}}{{\ln 2}}\]

\[t = 2T\]

Ответ: \(2T\).

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

11.8.15 Какая часть атомов радиоактивного кобальта 27Co58 распадается за 18 суток, если период
11.8.17 За 10 суток из 1000 ядер радиоактивного изотопа распалось 750 ядер. Найти период
11.8.18 Имеется 4 г радиоактивного кобальта. Сколько граммов кобальта распадается за 216 суток

Пожалуйста, поставьте оценку
( 4 оценки, среднее 5 из 5 )
Вы можете поделиться с помощью этих кнопок:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: