Решение: Определить давление, испытываемое платиновым электродом вследствие фотоэффекта

Условие задачи:

Определить давление, испытываемое платиновым электродом вследствие фотоэффекта под действием света с длиной волны 232 нм, если считать, что все электроны вылетают с максимальной скоростью, а на 1 см² поверхности падает ежесекундно 10¹³ фотонов.

Задача №11.2.34 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\lambda=232\) нм, \(S_0=1\) см², \(t_0=1\) с, \(N_0=10^{13}\), \(p_{давл}-?\)

Решение задачи:

Во-первых, если на поверхность площадью \(S_0\) за время \(t_0\) падает \(N_0\) фотонов, то количество фотонов \(N\), которое падает на площадь \(S\) за время \(t\), можно определить из следующего соотношения:

\[\frac{{{N_0}}}{{{S_0}{t_0}}} = \frac{N}{{St}}\;\;\;\;(1)\]

Давление, которое испытывает платиновый электрод вследствие фотоэффекта под действием света \(p_{давл}\), будем искать по следующей формуле:

\[{p_{давл}} = \frac{F}{S}\;\;\;\;(2)\]

В этой формуле \(F\) — сила давления, испытываемая электродом из-за вылета электронов, \(S\) — площадь освещаемой светом поверхности.

Каждый вылетевший электрон имеет импульс \(p_e\), поэтому изменение импульса платинового электрода при вылете электрона равно \(p_e\). Так как с площади \(S\) за время \(t\) вылетает \(N\) электронов, то их общий импульс равен \(Np_e\). Точно такое же изменение импульса будет испытывать и платиновый электрод, поскольку на систему не действуют внешние силы. Силу давления \(F\), испытываемую электродом, будем находить из второго закона Ньютона, записанного в общем виде:

\[F = \frac{{\Delta p}}{{\Delta t}}\]

Учитывая вышесказанное, имеем:

\[F = \frac{{Np_e}}{t}\]

Значит формула (2) примет следующий вид:

\[{p_{давл}} = \frac{{N{p_e}}}{{St}}\;\;\;\;(3)\]

Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта энергия поглощенного фотона \(h\nu\) идет на совершение работы выхода \(A_{вых}\) и на сообщение кинетической энергии вылетевшему электрону \(\frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\). Поэтому:

\[h\nu = {A_{вых}} + \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\;\;\;\;(4)\]

В этой формуле \(h\) — это постоянная Планка, равная 6,62·10^-34 Дж·с, \(m_e\) — масса электрона, равная 9,1·10^-31 кг. Работа выхода из платины \(A_{вых}\) равна 5,3 эВ.

Частоту колебаний \(\nu\) можно выразить через скорость света \(c\), которая равна 3·10⁸ м/с, и длину волны \(\lambda\) по следующей формуле:

\[\nu = \frac{c}{\lambda}\;\;\;\;(5)\]

Подставим выражение (5) в формулу (4), тогда:

\[\frac{{hc}}{\lambda } = {A_{вых}} + \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\]

Домножим и числитель, и знаменатель дроби, являющейся кинетической энергией фотоэлектрона, на \(m_e\), тогда:

\[\frac{{hc}}{\lambda } = {A_{вых}} + \frac{{m_e^2{\upsilon ^2}}}{{2{m_e}}}\]

Понятно, что в числителе мы получили квадрат импульса электрона \(p_e\):

\[\frac{{hc}}{\lambda } = {A_{вых}} + \frac{{{p_e^2}}}{{2{m_e}}}\]

Перенесем \(A_{вых}\) в левую часть уравнения, где приведем под общий знаменатель:

\[\frac{{hc — {A_{вых}}\lambda }}{\lambda } = \frac{{{p_e^2}}}{{2{m_e}}}\]

Откуда импульс электрона \(p_e\) равен:

\[p_e = \sqrt {\frac{{2{m_e}\left( {hc — {A_{вых}}\lambda } \right)}}{\lambda }} \]

Полученное выражение подставим в формулу (3):

\[{p_{давл}} = \frac{N}{{St}}\sqrt {\frac{{2{m_e}\left( {hc — {A_{вых}}\lambda } \right)}}{\lambda }} \]

Учитывая равенство (1), окончательно получим:

\[{p_{давл}} = \frac{{{N_0}}}{{{S_0}{t_0}}}\sqrt {\frac{{2{m_e}\left( {hc — {A_{вых}}\lambda } \right)}}{\lambda }} \]

Задача решена в общем виде, подставим данные задачи в полученную формулу и посчитаем численный ответ задачи (1 эВ = 1,6·10^-19 Дж):

\[{p_{давл}} = \frac{{{{10}^{13}}}}{{{{10}^{ — 4}} \cdot 1}}\sqrt {\frac{{2 \cdot 9,1 \cdot {{10}^{ — 31}} \cdot \left( {6,62 \cdot {{10}^{ — 34}} \cdot 3 \cdot {{10}^8} — 5,3 \cdot 1,6 \cdot {{10}^{ — 19}} \cdot 232 \cdot {{10}^{ — 9}}} \right)}}{{232 \cdot {{10}^{ — 9}}}}} = 1,21 \cdot {10^{ — 8}}\;Па = 12,1\;нПа\]