Решение: Определить, какой ток создает электрон, вращающийся вокруг ядра в атоме водорода

Условие задачи:

Определить, какой ток создает электрон, вращающийся вокруг ядра в атоме водорода, если радиус его орбиты 0,53·10^-10 м?

Задача №11.4.9 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$R=0,53 \cdot 10^{-10}$ м, $I-?$

Решение задачи:

В модели атома Резерфорда отрицательно заряженный электрон вращается вокруг положительно заряженного ядра атома с некоторой скоростью $\upsilon$ . По условию задачи радиус орбиты электрона равен $R$ . Ядро атома водорода есть протон (нейтронов там нет, так как это не изотоп), заряд которого по модулю равен заряду электрона ( $e=1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл).

Ток $I$ есть заряд, проходящий через некоторое сечение за единицу времени, поэтому его определяют по формуле:

$I = \frac{{\Delta q}}{{\Delta t}}$

Понятно, что за один оборот электрона вокруг ядра водорода через любое сечение, перпендикулярное орбите, будет проходить заряд, по модулю равный модулю заряда электрона, то есть $e$ . Поэтому:

$I = \frac{e}{t}\;\;\;\;(1)$

Здесь $t$ — время, за которое электрон сделает один оборот вокруг ядра водорода (протона), его можно найти, разделив длину орбиты на скорость электрона, то есть:

$t = \frac{{2\pi R}}{\upsilon }\;\;\;\;(2)$

Подставим выражение (2) в формулу (1), тогда:

$I = \frac{{e\upsilon }}{{2\pi R}}\;\;\;\;(3)$

Сила кулоновского взаимодействия зарядов электрона и протона создает центростремительное ускорение электрона, поэтому из второго закона Ньютона справедливо записать:

$\frac{{k{e^2}}}{{{R^2}}} = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{R}$

Здесь $k$ — коэффициент пропорциональности в законе Кулона, равный 9·10⁹ Н·м²/Кл², $m_e$ — масса электрона, равная 9,1·10^-31 кг.

Тогда сократив по радиусу $R$ в знаменателях, имеем:

$\frac{{k{e^2}}}{R} = {m_e}{\upsilon ^2}$

Откуда скорость вращения электрона по орбите $\upsilon$ равна:

$\upsilon = e\sqrt {\frac{k}{{{m_e}R}}}\;\;\;\;(4)$

Подставим выражение (4) в формулу (3):

$I = \frac{{{e^2}}}{{2\pi R}}\sqrt {\frac{k}{{{m_e}R}}}$

Задача решена в общем виде, теперь произведем расчет численного ответа:

$I = \frac{{{{\left( {1,6 \cdot {{10}^{ — 19}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 3,14 \cdot 0,53 \cdot {{10}^{ — 10}}}}\sqrt {\frac{{9 \cdot {{10}^9}}}{{9,1 \cdot {{10}^{ — 31}} \cdot 0,53 \cdot {{10}^{ — 10}}}}} = {10^{ — 3}}\;А = 1\;мА$