Условие задачи:
Препарат \(_{84}^{210}Po\) массой 1 мг помещен в калориметр с теплоемкостью 8 Дж/К. После ?-распада он превращается в свинец \(_{82}^{206}Pb\). На сколько поднимется температура в калориметре за 1 ч? Масса атома \(_{84}^{210}Po\) 209,98287 а.е.м., масса атома \(_{82}^{206}Pb\) 205,97447 а.е.м. Период полураспада полония 138 суток. Масса покоя ?-частицы 4,00260 а.е.м.
Задача №11.8.20 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(_{84}^{210}Po\), \(m_0=1\) мг, \(C=8\) Дж/К, \(_{82}^{206}Pb\), \(\tau=1\) ч, \(m_{Po}=209,98287\) а.е.м., \(m_{Pb}=205,97447\) а.е.м., \(t=138\) сут, \(m_{He}=4,00260\) а.е.м., \(\Delta T-?\)
Решение задачи:
Для наглядности запишем происходящую реакцию:
\[{}_{84}^{210}Po \to {}_{82}^{206}Pb + {}_2^4He\]
Согласно закону радиоактивного распада, число нераспавшихся ядер \(N\), содержащихся в образце в произвольный момент времени \(\tau\), можно определить через начальное число ядер в образце \(N_0\) и период полураспада \(t\), по следующей зависимости:
\[N = {N_0} \cdot {2^{ — \frac{\tau}{t}}}\;\;\;\;(1)\]
Число распавшихся ядер \(\Delta N\), очевидно, можно найти следующим образом:
\[\Delta N = {N_0} — N\;\;\;\;(2)\]
Подставим выражение (1) в формулу (2), тогда:
\[\Delta N = {N_0} — {N_0} \cdot {2^{ — \frac{\tau}{t}}}\]
\[\Delta N = {N_0}\left( {1 — {2^{ — \frac{\tau}{t}}}} \right)\;\;\;\;(3)\]
Чтобы определить количество атомов изотопа полония \(N_0\) в массе препарата \(m_0\), запишем две формулы определения количества вещества \(\nu\):
\[\left\{ \begin{gathered}
\nu = \frac{N_0}{{{N_А}}} \hfill \\
\nu = \frac{m_0}{M} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Здесь \(N_А\) — постоянная Авогадро, равная 6,022·1023 моль-1, \(M\) — молярная масса изотопа полония, равная 0,210 кг/моль (смотрите запись изотопа этого химического элемента). Тогда:
\[\frac{N_0}{{{N_А}}} = \frac{m_0}{M}\]
\[{N_0} = \frac{{{m_0}{N_А}}}{M}\;\;\;\;(4)\]
Подставим выражение (4) в формулу (3), тогда:
\[\Delta N = \frac{{{m_0}{N_А}}}{M}\left( {1 — {2^{ — \frac{\tau}{t}}}} \right)\;\;\;\;(5)\]
Так как энергия эквивалентна массе, значит при распаде одного ядра полония выделяется энергия \(E_0\). Запишем формулу Эйнштейна для связи между энергией и массой:
\[E_0 = \Delta m{c^2}\]
Здесь \(\Delta m\) — изменение массы в процессе ?-распада (дефект масс), \(c\) — скорость света в вакууме, равная 3·108 м/с.
Очевидно, что:
\[{E_0} = \left( {{m_{Po}} — {m_{Pb}} — {m_{He}}} \right){c^2}\]
Значит при распаде \(\Delta N\) ядер выделится энергия \(E\), которую можно найти по формуле:
\[E = {E_0}\Delta N\]
Тогда:
\[E = \frac{{{m_0}{N_А}\left( {{m_{Po}} — {m_{Pb}} — {m_{He}}} \right){c^2}}}{M}\left( {1 — {2^{ — \frac{\tau }{t}}}} \right)\;\;\;\;(6)\]
Если температура калориметра с теплоемкостью \(C\) повысилась на \(\Delta T\), то ему было сообщено количество теплоты \(Q\), равное:
\[Q = C\Delta T\;\;\;\;(7)\]
Вся выделившаяся при ?-распаде ядер полония энергия \(E\) идет на нагревание калориметра, поэтому:
\[E = Q\]
Приравняв (6) и (7), получим:
\[C\Delta T = \frac{{{m_0}{N_А}\left( {{m_{Po}} — {m_{Pb}} — {m_{He}}} \right){c^2}}}{M}\left( {1 — {2^{ — \frac{\tau }{t}}}} \right)\]
Окончательно получим следующую формулу для нахождения изменения температуры \(\Delta T\):
\[\Delta T = \frac{{{m_0}{N_А}\left( {{m_{Po}} — {m_{Pb}} — {m_{He}}} \right){c^2}}}{{CM}}\left( {1 — {2^{ — \frac{\tau }{t}}}} \right)\]
Подставим данные задачи в полученную формулу и произведем расчет численного ответа (1 а.е.м. = 1,66·10-27 кг):
\[\Delta T = \frac{{{{10}^{ — 6}} \cdot 6,022 \cdot {{10}^{23}} \cdot \left( {209,98287 — 205,97447 — 4,00260} \right) \cdot 1,66 \cdot {{10}^{ — 27}} \cdot {{\left( {3 \cdot {{10}^8}} \right)}^2}}}{{8 \cdot 0,210}}\left( {1 — {2^{ — \frac{1}{{138 \cdot 24}}}}} \right) = 65\;К = 65^\circ\;С \]
Ответ: 65 °C.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
11.8.19 В калориметр с теплоемкостью 100 Дж/К помещен изотоп кобальта Co61 массой 10 мг
11.9.1 Допишите ядерную реакцию: 13Al27 + ? -> 12Mg26 + ?
11.9.2 Какое ядро X образуется в результате ядерной реакции 1p1 + 5B11 -> 2·2?4 + X?
![](/mark_r_img.png)