Решение: Препарат 84Po210 массой 1 мг помещен в калориметр с теплоемкостью 8 Дж/К. После

Условие задачи:

Препарат $_{84}^{210}Po$ массой 1 мг помещен в калориметр с теплоемкостью 8 Дж/К. После ?-распада он превращается в свинец $_{82}^{206}Pb$ . На сколько поднимется температура в калориметре за 1 ч? Масса атома $_{84}^{210}Po$ 209,98287 а.е.м., масса атома $_{82}^{206}Pb$ 205,97447 а.е.м. Период полураспада полония 138 суток. Масса покоя ?-частицы 4,00260 а.е.м.

Задача №11.8.20 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$_{84}^{210}Po$ , $m_0=1$ мг, $C=8$ Дж/К, $_{82}^{206}Pb$ , $\tau=1$ ч, $m_{Po}=209,98287$ а.е.м., $m_{Pb}=205,97447$ а.е.м., $t=138$ сут, $m_{He}=4,00260$ а.е.м., $\Delta T-?$

Решение задачи:

Для наглядности запишем происходящую реакцию:

${}_{84}^{210}Po \to {}_{82}^{206}Pb + {}_2^4He$

Согласно закону радиоактивного распада, число нераспавшихся ядер $N$ , содержащихся в образце в произвольный момент времени $\tau$ , можно определить через начальное число ядер в образце $N_0$ и период полураспада $t$ , по следующей зависимости:

$N = {N_0} \cdot {2^{ — \frac{\tau}{t}}}\;\;\;\;(1)$

Число распавшихся ядер $\Delta N$ , очевидно, можно найти следующим образом:

$\Delta N = {N_0} — N\;\;\;\;(2)$

Подставим выражение (1) в формулу (2), тогда:

$\Delta N = {N_0} — {N_0} \cdot {2^{ — \frac{\tau}{t}}}$

$\Delta N = {N_0}\left( {1 — {2^{ — \frac{\tau}{t}}}} \right)\;\;\;\;(3)$

Чтобы определить количество атомов изотопа полония $N_0$ в массе препарата $m_0$ , запишем две формулы определения количества вещества $\nu$ :

$\left\{ \begin{gathered} \nu = \frac{N_0}{{{N_А}}} \hfill \\ \nu = \frac{m_0}{M} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Здесь $N_А$ — постоянная Авогадро, равная 6,022·10²³ моль^-1, $M$ — молярная масса изотопа полония, равная 0,210 кг/моль (смотрите запись изотопа этого химического элемента). Тогда:

$\frac{N_0}{{{N_А}}} = \frac{m_0}{M}$

${N_0} = \frac{{{m_0}{N_А}}}{M}\;\;\;\;(4)$

Подставим выражение (4) в формулу (3), тогда:

$\Delta N = \frac{{{m_0}{N_А}}}{M}\left( {1 — {2^{ — \frac{\tau}{t}}}} \right)\;\;\;\;(5)$

Так как энергия эквивалентна массе, значит при распаде одного ядра полония выделяется энергия $E_0$ . Запишем формулу Эйнштейна для связи между энергией и массой:

$E_0 = \Delta m{c^2}$

Здесь $\Delta m$ — изменение массы в процессе ?-распада (дефект масс), $c$ — скорость света в вакууме, равная 3·10⁸ м/с.

Очевидно, что:

${E_0} = \left( {{m_{Po}} — {m_{Pb}} — {m_{He}}} \right){c^2}$

Значит при распаде $\Delta N$ ядер выделится энергия $E$ , которую можно найти по формуле:

$E = {E_0}\Delta N$

Тогда:

$E = \frac{{{m_0}{N_А}\left( {{m_{Po}} — {m_{Pb}} — {m_{He}}} \right){c^2}}}{M}\left( {1 — {2^{ — \frac{\tau }{t}}}} \right)\;\;\;\;(6)$

Если температура калориметра с теплоемкостью $C$ повысилась на $\Delta T$ , то ему было сообщено количество теплоты $Q$ , равное:

$Q = C\Delta T\;\;\;\;(7)$

Вся выделившаяся при ?-распаде ядер полония энергия $E$ идет на нагревание калориметра, поэтому:

$E = Q$

Приравняв (6) и (7), получим:

$C\Delta T = \frac{{{m_0}{N_А}\left( {{m_{Po}} — {m_{Pb}} — {m_{He}}} \right){c^2}}}{M}\left( {1 — {2^{ — \frac{\tau }{t}}}} \right)$

Окончательно получим следующую формулу для нахождения изменения температуры $\Delta T$ :

$\Delta T = \frac{{{m_0}{N_А}\left( {{m_{Po}} — {m_{Pb}} — {m_{He}}} \right){c^2}}}{{CM}}\left( {1 — {2^{ — \frac{\tau }{t}}}} \right)$

Подставим данные задачи в полученную формулу и произведем расчет численного ответа (1 а.е.м. = 1,66·10^-27 кг):

$\Delta T = \frac{{{{10}^{ — 6}} \cdot 6,022 \cdot {{10}^{23}} \cdot \left( {209,98287 — 205,97447 — 4,00260} \right) \cdot 1,66 \cdot {{10}^{ — 27}} \cdot {{\left( {3 \cdot {{10}^8}} \right)}^2}}}{{8 \cdot 0,210}}\left( {1 — {2^{ — \frac{1}{{138 \cdot 24}}}}} \right) = 65\;К = 65^\circ\;С$