Условие задачи:
Радиоактивный изотоп \(_{6}^{14}C\) в старом куске дерева составляет 0,125 массы этого изотопа в живых растениях. Каков возраст этого куска дерева, если период полураспада изотопа углерода 5570 лет?
Задача №11.8.8 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(_{6}^{14}C\), \(m=0,125m_0\), \(T=5570\) лет, \(t-?\)
Решение задачи:
Мне не совсем нравится условие этой задачи, если бы было написано, что изотоп углерода составляет 0,125 массы этого изотопа в живом дереве, то было бы гораздо понятнее (и правильнее, как я думаю).
Согласно закону радиоактивного распада, число нераспавшихся ядер \(N\), содержащихся в образце в произвольный момент времени \(t\), можно определить через начальное число ядер в образце \(N_0\) и период полураспада \(T\), по следующей зависимости:
\[N = {N_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\;\;\;\;(1)\]
Покажем, что этот же закон можно записать через массы, а не количества ядер (атомов). Для этого запишем две формулы определения количества вещества \(\nu\):
\[\left\{ \begin{gathered}
\nu = \frac{N}{{{N_А}}} \hfill \\
\nu = \frac{m}{M} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Здесь \(N_А\) — постоянная Авогадро, \(M\) — молярная масса вещества. Тогда:
\[\frac{N}{{{N_А}}} = \frac{m}{M}\]
\[m = N\frac{M}{{{N_А}}}\]
Отсюда видно, что массу можно найти через количество атомов, умножив на некоторое число, которое постоянно для каждого вещества. Поэтому формулу (1) можно записать в виде:
\[m = {m_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\]
По условию задачи \(m=0,125m_0\) или \(\frac{m}{m_0}=0,125\), значит:
\[0,125 = {2^{ — \frac{t}{T}}}\]
\[{2^{ — 3}} = {2^{ — \frac{t}{T}}}\]
Откуда имеем:
\[\frac{t}{T} = 3\]
\[t = 3T\]
\[t = 3 \cdot 5570 = 16710\;лет\]
Ответ: 16710 лет.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
11.8.7 Период полураспада радия 1600 лет. Через какое время число атомов уменьшится в четыре
11.8.9 Имеется 8 кг радиоактивного цезия. Определить массу нераспавшегося цезия после 135 лет
11.8.10 За четверо суток масса радиоактивного элемента уменьшилась в два раза. Определите
![](/mark_r_img.png)
Откуда взялось 5570 лет?
В условии задачи была опечатка (естественно, что период полураспада у изотопа углерода гораздо больше 27 лет), спасибо за замечание, опечатка исправлена!