Решение: В калориметр с теплоемкостью 100 Дж/К помещен изотоп кобальта Co61 массой 10 мг

Условие задачи:

В калориметр с теплоемкостью 100 Дж/К помещен изотоп кобальта \(^{61}Co\) массой 10 мг. При распаде ядра \(^{61}Co\) выделяется энергия 2·10^-19 Дж. Через 50 мин температура калориметра повысилась на 0,06 К. Оцените период полураспада изотопа кобальта.

Задача №11.8.19 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(C=100\) Дж/К, \(^{61}Co\), \(m_0=10\) мг, \(E_0=2 \cdot 10^{-19}\) Дж, \(\tau=50\) мин, \(\Delta T=0,06\) К, \(t-?\)

Решение задачи:

Согласно закону радиоактивного распада, число нераспавшихся ядер \(N\), содержащихся в образце в произвольный момент времени \(\tau\), можно определить через начальное число ядер в образце \(N_0\) и период полураспада \(t\), по следующей зависимости:

\[N = {N_0} \cdot {2^{ — \frac{\tau}{t}}}\;\;\;\;(1)\]

Число распавшихся ядер \(\Delta N\), очевидно, можно найти следующим образом:

\[\Delta N = {N_0} — N\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (1) в формулу (2), тогда:

\[\Delta N = {N_0} — {N_0} \cdot {2^{ — \frac{\tau}{t}}}\]

\[\Delta N = {N_0}\left( {1 — {2^{ — \frac{\tau}{t}}}} \right)\;\;\;\;(3)\]

Чтобы определить количество атомов изотопа кобальта \(N_0\) в массе \(m_0\), запишем две формулы определения количества вещества \(\nu\):

\[\left\{ \begin{gathered}
\nu = \frac{N_0}{{{N_А}}} \hfill \\
\nu = \frac{m_0}{M} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Здесь \(N_А\) — постоянная Авогадро, равная 6,022·10²³ моль^-1, \(M\) — молярная масса изотопа кобальта, равная 0,061 кг/моль (смотрите запись изотопа этого химического элемента). Тогда:

\[\frac{N_0}{{{N_А}}} = \frac{m_0}{M}\]

\[{N_0} = \frac{{{m_0}{N_А}}}{M}\;\;\;\;(4)\]

Подставим выражение (4) в формулу (3), тогда:

\[\Delta N = \frac{{{m_0}{N_А}}}{M}\left( {1 — {2^{ — \frac{\tau}{t}}}} \right)\;\;\;\;(5)\]

Понятно, что если при распаде одного ядра выделяется энергия \(E_0\), то при распаде \(\Delta N\) ядер выделится энергия \(E\), которую можно найти по формуле:

\[E = {E_0}\Delta N\]

Учитывая (5), имеем:

\[E = \frac{{{E_0}{m_0}{N_А}}}{M}\left( {1 — {2^{ — \frac{\tau}{t}}}} \right)\;\;\;\;(6)\]

Если температура калориметра с теплоемкостью \(C\) повысилась на \(\Delta T\), то ему было сообщено количество теплоты \(Q\), равное:

\[Q = C\Delta T\;\;\;\;(7)\]

Вся выделившаяся при распаде ядер кобальта энергия \(E\) идет на нагревание калориметра, поэтому:

\[E = Q\]

Приравняв (6) и (7), получим:

\[\frac{{{E_0}{m_0}{N_1}}}{M}\left( {1 — {2^{ — \frac{\tau }{t}}}} \right) = C\Delta T\]

\[1 — {2^{ — \frac{\tau }{t}}} = \frac{{C\Delta TM}}{{{E_0}{m_0}{N_А}}}\]

\[1 — \frac{{C\Delta TM}}{{{E_0}{m_0}{N_А}}} = {2^{ — \frac{\tau }{t}}}\]

Прологарифмируем обе части этого уравнения:

\[\ln \left( {1 — \frac{{C\Delta TM}}{{{E_0}{m_0}{N_А}}}} \right) = \ln {2^{ — \frac{\tau }{t}}}\]

\[\ln \left( {1 — \frac{{C\Delta TM}}{{{E_0}{m_0}{N_А}}}} \right) = — \frac{\tau }{t}\ln 2\]

Окончательно получим следующую формулу для нахождения периода полураспада \(t\):

\[t = \frac{{ — \tau \ln 2}}{{\ln \left( {1 — \frac{{C\Delta TM}}{{{E_0}{m_0}{N_А}}}} \right)}}\]

Подставим данные задачи в полученную формулу и произведем расчет численного ответа (время \(\tau\) мы не переводим в СИ, поэтому период полураспада получим в тех же единицах, что и время \(\tau\)):

\[t = \frac{{ — 50 \cdot \ln 2}}{{\ln \left( {1 — \frac{{100 \cdot 0,06 \cdot 0,061}}{{2 \cdot {{10}^{ — 19}} \cdot {{10}^{ — 5}} \cdot 6,022 \cdot {{10}^{23}}}}} \right)}} = 95,7\;мин\]