Условие задачи:

В теории Бора атома водорода радиус n-й круговой орбиты электрона выражается через радиус первой орбиты формулой \({r_n}={r_1}n^2\). Определите, как изменяется кинетическая энергия электрона при переходе со второй орбиты на первую?

Задача №11.4.15 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\({r_n}={r_1}n^2\), \(\frac{E_1}{E_2}-?\)

Решение задачи:

Понятно, что радиус второй орбиты \(r_2\) (\(n=2\)) по формуле, данной в условии, будет равен:

\[{r_2} = 4{r_1}\;\;\;\;(1)\]

В модели атома Резерфорда отрицательно заряженные электроны вращаются по орбитам вокруг положительно заряженного ядра атома с некоторой скоростью \(\upsilon\). Ядро атома водорода состоит из одного протона, заряд которого по модулю равен заряду электрона (\(e=1,6 \cdot 10^{-19}\) Кл).

Кинетическую энергию электрона \(E_к\) будем определять по известной формуле:

\[E = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\;\;\;\;(2)\]

Сила кулоновского взаимодействия ядра водорода (то есть протона) и электрона создает центростремительное ускорение электрона, поэтому из второго закона Ньютона справедливо записать:

\[\frac{{k{e^2}}}{{{r^2}}} = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{r}\]

Здесь \(k\) — коэффициент пропорциональности в законе Кулона, равный 9·10⁹ Н·м²/Кл², \(m_e\) — масса электрона, равная 9,1·10^-31 кг, \(r\) — радиус орбиты электрона.

Тогда сократив по радиусу \(r\) в знаменателях, имеем:

\[\frac{{k{e^2}}}{r} = {m_e}{\upsilon ^2}\]

Поделим обе части этого равенства на 2, тогда:

\[\frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2} = \frac{{k{e^2}}}{2r}\]

Учитывая (2), окончательно имеем:

\[E = \frac{{k{e^2}}}{2r}\]

Запишем полученную формулу для первой и второй орбит, о которых говорится в условии задачи:

\[\left\{ \begin{gathered}
{E_1} = \frac{{k{e^2}}}{{2{r_1}}} \hfill \\
{E_2} = \frac{{k{e^2}}}{{2{r_2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда отношение энергий \(\frac{E_1}{E_2}\), которое позволит нам найти ответ на вопрос задачи, равно:

\[\frac{{{E_1}}}{{{E_2}}} = \frac{{{r_2}}}{{{r_1}}}\]

Учитывая равенство (1), окончательно получим:

\[\frac{{{E_1}}}{{{E_2}}} = \frac{{4{r_1}}}{{{r_1}}} = 4\]

Ответ: увеличится в 4 раза.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

11.4.14 Из теории Бора атома водорода следует, что при переходе электрона с одной орбиты
11.4.16 На рисунке представлена схема энергетических уровней атома водорода. Какой цифрой
11.4.17 На рисунке представлена схема энергетических уровней атома водорода. Какой