Условие задачи:

Протон и альфа-частица (\(_2^4{\text{He}}\)), ускоренные одинаковой разностью потенциалов, влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Как связаны между собой радиусы окружностей \(R_1\) и \(R_2\), по которым будут двигаться, соответственно, протон и альфа-частица (массы нейтрона и протона считать равными)?

Задача №8.2.25 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\alpha=90^\circ\), \(\frac{R_2}{R_1}-?\)

Решение задачи:

Для начала определимся с массами и зарядами. Протон имеет массу \(m_p\) и модуль заряда \(e\). Альфа-частица (ядро атома гелия) \(_2^4{\text{He}}\) состоит из двух протонов и двух нейтронов. Поэтому, если считать массы нейтрона и протона считать равными, её масса приближенно (!) равна \(4m_p\), а модуль заряда равен \(2e\).

Если заряженная частица была ускорена разностью потенциалов \(U\), её скорость \(\upsilon\) можно найти по закону сохранения энергии:

\[qU = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}\]

Откуда:

\[\upsilon = \sqrt {\frac{{2qU}}{{m}}} \;\;\;\;(1)\]

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца \(F_Л\), которую определяет следующая формула:

\[{F_Л} = B\upsilon q\sin \alpha \;\;\;\;(2)\]

Здесь \(B\) — индукция магнитного поля, \(\upsilon\) — скорость частицы, \(q\) — модуль заряда частицы, \(\alpha\) — угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции.

Направление действия силы Лоренца определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в нее, а четыре вытянутых пальца направить по направлению движения положительного заряда (или против направления отрицательного заряда), то большой палец, оставленный на 90°, покажет направление силы Лоренца. Мы в этой задаче имеем дело с положительно заряженными частицами, тогда в нашем случае (при таком направлении вектора магнитной индукции) сила Лоренца будет направлена влево.

Сила Лоренца \(F_Л\) сообщает частице центростремительное ускорение \(a_ц\), поэтому из второго закона Ньютона следует, что:

\[{F_Л} = m{a_ц}\;\;\;\;(3)\]

Центростремительное ускорение \(a_ц\) можно определить через скорость \(\upsilon\) и радиус кривизны траектории \(R\) по формуле:

\[{a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(4)\]

Подставим (4) в (3), тогда:

\[{F_Л} = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(5)\]

Приравняем правые части (2) и (5):

\[B\upsilon q\sin \alpha = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{R}\]

Имеем:

\[Bq\sin \alpha = \frac{{m\upsilon }}{R}\]

Откуда радиус траектории \(R\) равен:

\[R = \frac{{m\upsilon }}{{Bq\sin \alpha }}\]

Учтём ранее полученное выражение (1):

\[R = \frac{m}{{Bq\sin \alpha }}\sqrt {\frac{{2qU}}{m}} \]

\[R = \frac{1}{{B\sin \alpha }}\sqrt {\frac{{2mU}}{q}} \]

Запишем формулу для определения радиуса траектории протона и альфа-частицы (касаемо их зарядов и масс читайте первый абзац решения):

\[\left\{ \begin{gathered}
{R_1} = \frac{1}{{B\sin \alpha }}\sqrt {\frac{{2 \cdot {m_p}U}}{e}} \hfill \\
{R_2} = \frac{1}{{B\sin \alpha }}\sqrt {\frac{{2 \cdot 4{m_p}U}}{{2e}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Разделим нижнее равенство на верхнее, тогда:

\[\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \]

Ответ: \(\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = \sqrt 2\).

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

8.2.24 Заряженная частица влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям
8.2.26 Протон и дейтрон (ядро изотопа водорода 2H1), имеющие одинаковые скорости, влетают
8.2.27 Протон и дейтрон (ядро изотопа водорода 2H1) влетают в однородное магнитное поле