Условие задачи:

Заряженная частица влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции и далее движется по окружности. Как изменится частота вращения частицы, если величину индукции магнитного поля увеличить в два раза?

Задача №8.2.24 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$\alpha=90^\circ$, $B_2=2B_1$, $\frac{\nu_2}{\nu_1}-?$

Решение задачи:

Под действием силы Лоренца заряженная частица в магнитном поле будет совершать равномерное движение по окружности. Очевидно, что если частица движется по окружности радиуса $R$ со скоростью $\upsilon$, то период обращения $T$, то есть время, за которое частица сделает один оборот (или пройдет одну длину окружности, равную $2\pi R$), можно найти так:

$$T = \frac{{2\pi R}}{\upsilon }$$

Частоту вращения частицы $\nu$ можно найти как величину, обратную периоду обращения $T$:

$$\nu = \frac{1}{T}$$

$$\nu = \frac{\upsilon }{{2\pi R}}\;\;\;\;(1)$$

Силу Лоренца $F_Л$ определяют по следующей формуле:

$${F_Л} = B\upsilon q\sin \alpha \;\;\;\;(2)$$

Здесь $B$ — индукция магнитного поля, $\upsilon$ — скорость заряженной частицы, $q$ — модуль заряда частицы, $\alpha$ — угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции.

Направление действия силы Лоренца определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в нее, а четыре вытянутых пальца направить по направлению движения положительного заряда (или против направления отрицательного заряда), то большой палец, оставленный на 90°, покажет направление силы Лоренца. В нашем случае (при таком направлении вектора магнитной индукции) сила Лоренца направлена влево.

Сила Лоренца $F_Л$ сообщает заряженной частице центростремительное ускорение $a_ц$, поэтому из второго закона Ньютона следует, что:

$${F_Л} = m{a_ц}\;\;\;\;(3)$$

Центростремительное ускорение $a_ц$ можно определить через скорость $\upsilon$ и радиус кривизны траектории $R$ по формуле:

$${a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(4)$$

Подставим (4) в (3), тогда:

$${F_Л} = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(5)$$

Приравняем правые части (2) и (5):

$$B\upsilon q\sin \alpha = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{R}$$

Имеем:

$$Bq\sin \alpha = \frac{{m\upsilon }}{R}$$

Откуда отношение $\frac{\upsilon}{R}$, которое нам будет нужно в ходе дальнейшего решения, равно:

$$\frac{\upsilon }{R} = \frac{{Bq\sin \alpha }}{m}$$

Полученное выражение подставим в (1):

$$\nu = \frac{{Bq\sin \alpha }}{{2\pi m}}$$

Запишем полученную формулу дважды для двух случаев, описанных в условии задачи:

$$\left\{ \begin{gathered} {\nu _1} = \frac{{{B_1}q\sin \alpha }}{{2\pi m}} \hfill \\ {\nu _2} = \frac{{{B_2}q\sin \alpha }}{{2\pi m}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Поделим нижнее равенство на верхнее, тогда искомое отношение $\frac{\nu_2}{\nu_1}$ равно:

$$\frac{{{\nu _2}}}{{{\nu _1}}} = \frac{{{B_2}}}{{{B_1}}}$$

По условию величину индукции магнитного поля увеличивают в два раза, то есть $B_2=2B_1$, поэтому:

$$\frac{{{\nu _2}}}{{{\nu _1}}} = \frac{{2{B_1}}}{{{B_1}}} = 2$$

Ответ: увеличится в 2 раза.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

8.2.23 Электрон движется в магнитном поле с индукцией 2 мТл по винтовой линии радиусом
8.2.25 Протон и альфа-частица (4He2), ускоренные одинаковой разностью потенциалов, влетают
8.2.26 Протон и дейтрон (ядро изотопа водорода 2H1), имеющие одинаковые скорости, влетают