Решение: В стеклянной трубке находится столбик ртути длиной 10 см

Условие задачи:

В стеклянной трубке находится столбик ртути длиной 10 см. Когда трубка расположена вертикально открытым концом вверх, длина воздушного столбика в закрытом конце 8 см. Какой будет длина воздушного столба, если трубку повернуть открытым концом вниз? Атмосферное давление 98,6 кПа, считать, что ртуть не вытекает.

Задача №4.3.36 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(l=10\) см, \(L_1=8\) см, \(p_0=98,6\) кПа, \(L_2-?\)

Решение задачи:

Для понимания того, что происходит с газом в этой задаче, мы приведем рисунок.

Когда трубку будут переворачивать, над газом, запертым ртутью, будет производиться изотермический процесс (\(T=const\)). Запишем закон Бойля-Мариотта, которому подчиняются все изотермические процессы:

\[{p_1}{V_1} = {p_2}{V_2}\]

Если объемом сферических концов трубки можно пренебречь, то объем \(V_1\) и \(V_2\), занимаемый газом, можно вычислять как объем цилиндра:

\[{V_1} = S{L_1}\]

\[{V_2} = S{L_2}\]

Если эти формулы подставить в закон Бойля-Мариотта и выразить искомую длину \(L_2\), то получим:

\[{p_1}S{L_1} = {p_2}S{L_2} \Rightarrow {p_1}{L_1} = {p_2}{L_2}\]

\[{L_2} = \frac{{{p_1}}}{{{p_2}}}{L_1}\;\;\;\;(1)\]

Глядя на рисунок, можно догадаться, что давления \(p_1\) и \(p_2\) можно найти, используя закон Паскаля:

\[\left\{ \begin{gathered}
{p_0} + \rho gl = {p_1} \hfill \\
{p_2} + \rho gl = {p_0} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Или, что тоже самое:

\[\left\{ \begin{gathered}
{p_0} + \rho gl = {p_1} \hfill \\
{p_0} – \rho gl = {p_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделив верхнее выражение на нижнее, получим:

\[\frac{{{p_1}}}{{{p_2}}} = \frac{{{p_0} + \rho gl}}{{{p_0} – \rho gl}}\]

Подставим полученное отношение в формулу (1):

\[{L_2} = {L_1}\frac{{{p_0} + \rho gl}}{{{p_0} – \rho gl}}\]

Теперь осталось подсчитать численный ответ. Напомним, что плотность ртути \(\rho = 13600\) кг/м³. Численные данные подставляем, естественно, в системе СИ.

\[{L_2} = 0,08\frac{{98,6 \cdot {{10}^3} + 13600 \cdot 10 \cdot 0,1}}{{98,6 \cdot {{10}^3} – 13600 \cdot 10 \cdot 0,1}} = 0,106\; м\]