Решение: Найти количество теплоты, выделившееся при лобовом абсолютно неупругом ударе

Условие задачи:

Найти количество теплоты, выделившееся при лобовом абсолютно неупругом ударе двух свинцовых шаров массой 1 кг каждый, скользящих без вращения по абсолютно гладкой поверхности. До удара шары двигались по одной прямой в одном направлении. Скорость первого шара равна 10 см/с, скорость второго — 20 см/с.

Задача №2.10.3 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=1\) кг, \(\upsilon_1=10\) см/с, \(\upsilon_2=20\) см/с, \(Q-?\)

Решение задачи:

Запишем два закона:

закон сохранения импульса (ЗСИ) в проекции на ось \(x\), поскольку система, состоящая из двух шаров замкнута в этом направлении;
закон сохранения энергии (ЗСЭ), но учтем, что часть начальной кинетической энергии шаров при абсолютно неупругом ударе переходит в теплоту \(Q\).

\[\left\{ \begin{gathered}
m{\upsilon _1} + m{\upsilon _2} = 2mu \hfill \\
\frac{{m\upsilon _1^2}}{2} + \frac{{m\upsilon _2^2}}{2} = \frac{{2m{u^2}}}{2} + Q \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из ЗСИ выразим скорость шаров после удара:

\[u = \frac{{{\upsilon _1} + {\upsilon _2}}}{2}\]

Полученное выражение подставим в ЗСЭ:

\[\frac{{m\upsilon _1^2}}{2} + \frac{{m\upsilon _2^2}}{2} = \frac{{2m}}{2}{\left( {\frac{{{\upsilon _1} + {\upsilon _2}}}{2}} \right)^2} + Q\]

Раскроем квадрат суммы в правой части уравнения:

\[\frac{{m\upsilon _1^2}}{2} + \frac{{m\upsilon _2^2}}{2} = \frac{{2m}}{2}\left( {\frac{{\upsilon _1^2 + 2{\upsilon _1}{\upsilon _2} + \upsilon _2^2}}{4}} \right) + Q\]

Откроем скобки:

\[\frac{{m\upsilon _1^2}}{2} + \frac{{m\upsilon _2^2}}{2} = \frac{{m\upsilon _1^2}}{4} + \frac{{m{\upsilon _1}{\upsilon _2}}}{2} + \frac{{m\upsilon _2^2}}{4} + Q\]

\[Q = \frac{{m\upsilon _1^2}}{4} — \frac{{m{\upsilon _1}{\upsilon _2}}}{2} + \frac{{m\upsilon _2^2}}{4} = \frac{m}{4}\left( {\upsilon _1^2 — 2{\upsilon _1}{\upsilon _2} + \upsilon _2^2} \right)\]

\[Q = \frac{m}{4}{\left( {{\upsilon _1} — {\upsilon _2}} \right)^2}\]

Получилась «красивая» формула для расчета ответа. Переведем скорости в единицы системы СИ.

\[10\; см/с = \frac{{10}}{{100}}\; м/с = 0,1\; м/с\]

\[20\; см/с = \frac{{20}}{{100}}\; м/с = 0,2\; м/с\]

Считаем ответ:

\[Q = \frac{1}{4}{\left( {0,1 — 0,2} \right)^2} = 2,5 \cdot 10^{-3}\; Дж = 2,5\; мДж\]