Условие задачи:

Одна из пластин плоского незаряженного конденсатора с расстоянием между ними 10 мм освещается рентгеновскими лучами, вырывающими из нее электроны со скоростью 1000 км/с, которые собираются на второй пластине. Через какое время фототок между пластинами прекратится, если с каждого 1 см² площади вырывается ежесекундно 10¹³ электронов?

Задача №11.2.26 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(d=10\) мм, \(\upsilon = 1000\) км/с, \(S_0=1\) см², \(t_0=1\) с, \(N_0=10^{13}\), \(t-?\)

Решение задачи:

Во-первых, если с поверхности площадью \(S_0\) за время \(t_0\) вырывается \(N_0\) электронов, то количество электронов \(N\), которое вырывается с площади \(S\) за время \(t\), можно определить из следующего соотношения:

\[\frac{{{N_0}}}{{{S_0}{t_0}}} = \frac{N}{{St}}\]

Откуда искомое время \(t\) можно найти из следующей формулы:

\[t = \frac{N}{S} \cdot \frac{{{S_0}{t_0}}}{{{N_0}}}\;\;\;\;(1)\]

Давайте разберемся, почему обкладки конденсатора не могут заряжаться бесконечно, и поэтому в некоторый момент времени фототок между пластинами конденсатора прекратится. Когда фотон рентгеновского излучения вырвет первый электрон из какой-то обкладки, то заряд этой обкладки станет положительным и равным \(e\) (это модуль заряда электрона, равный 1,6·10^-19 Кл), а электрон достигнет другой обкладки, заряд которой станет отрицательным и равным \( — e\). При дальнейшем облучении обкладки её заряд (а также заряд другой обкладки) будет возрастать (по модулю) и настанет момент, когда электроны, вырванные из обкладки, не достигая другой обкладки, будут обратно притягиваться к ней же. Примем, что заряд обкладок при этом будет равен по модулю \(Ne\). При этом граничное условие для электрона, который ещё сможет вырваться из обкладки и не вернется обратно к ней, можно записать в следующем виде (это формула из кинематики, также её можно получить из закона сохранения энергии):

\[{\upsilon ^2} = 2ad\;\;\;\;(2)\]

На электрон при движении между обкладками действует лишь одна электрическая сила, поэтому из второго закона Ньютона имеем:

\[Ee = {m_e}a\]

Откуда ускорение \(a\) будет равно:

\[a = \frac{{Ee}}{{{m_e}}}\;\;\;\;(3)\]

Напряженность поля конденсатора, заряд обкладок которого равен \(Ne\), а площадь равна \(S\), можно определить через поверхностную плотность заряда по формуле:

\[E = \frac{{Ne}}{{{\varepsilon _0}S}}\;\;\;\;(4)\]

Подставим выражение (4) в формулу (3), а полученное — в уравнение (2):

\[{\upsilon ^2} = \frac{{2N{e^2}d}}{{{\varepsilon _0}S{m_e}}}\]

Отсюда выразим отношение \(\frac{N}{S}\):

\[\frac{N}{S} = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}{\varepsilon _0}}}{{2{e^2}d}}\]

Осталось только полученное подставить в формулу (1):

\[t = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}{\varepsilon _0}{S_0}{t_0}}}{{2{N_0}{e^2}d}}\]

Численный ответ равен:

\[\frac{N}{S} = \frac{{9,1 \cdot {{10}^{ — 31}} \cdot {{\left( {{{10}^6}} \right)}^2} \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ — 12}} \cdot {{10}^{ — 4}} \cdot 1}}{{2 \cdot {{\left( {1,6 \cdot {{10}^{ — 19}}} \right)}^2} \cdot 0,01 \cdot {{10}^{13}}}} = 0,157 \cdot {10^{ — 6}}\;с = 0,157\;мкс\]

Ответ: 0,157 мкс.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

11.2.25 До какого максимального потенциала зарядится уединенный медный шарик, если его облучать
11.2.27 Медный шарик, удаленный от других тел, облучается монохроматическим излучением, длина
11.2.28 Источник монохроматического света мощностью 64 Вт излучает ежесекундно 10^20 фотонов